费马大定理初等证明

朱明君

费马大定理初等证明

费马三元组全域二分

一、无效三元组

① a≤b<c，a+b<c，n≥1 无解

② a≤b<c，a+b=c，n≥2 无解

③ b≥c，n≥1 无解

二、有效三元组

a≤b<c，a+b>c

满足该条件的三元组，方程
a^{n_c}+b^{n_c}=c^{n_c}
存在唯一正实数临界指数 n_c；若 a+b≤c，不存在正实数临界指数。

模等腰三元组
K+1=a，K+1=b，K+2=c
其中 K≥1 为正整数，满足 a+b>c。

垂直增 c 至 2b-1，关联等腰；

水平减 a 至 c-b+1，包括关联等腰水平减 a。

包含关联等腰构型，通过垂直&#8209;水平双维变换可以覆盖全部有效费马三元组。

无解传递

模三元组路径最长，路径短的三元组临界指数递减。

模三元组关联等腰临界指数非整数，

非等腰三元组牛顿数值非整数，则
a^n+b^n≠c^n

有效费马三元组与临界指数

临界指数公式
a^{n_c}+b^{n_c}=c^{n_c}

构造函数
g(n)=(a/c)^n+(b/c)^n

g(n) 在 n>0 上严格单调递减，满足
g(n_c)=1
由此保证临界指数 n_c 存在且唯一。

等腰三元组临界指数显式闭式

对于等腰有效费马三元组 a=b，a≤b<c，a+b>c：
2a^{n_c}=c^{n_c} &#10233; 2=(c/a)^{n_c}
n_c=ln2 / ln(c/a)

模等腰三元组代入得
n_0=ln2 / ln((K+2)/(K+1))

临界指数判别意义

当 n_c>2：对整数 n>2，有 a^n+b^n>c^n；

当 n_c=2：勾股三元组，满足 a2+b2=c2；

当 1<n_c<2：对整数 n>2，有 a^n+b^n<c^n。

牛顿数值公式（有效费马三元组专用）
F(n)=a^n+b^n-c^n
F'(n)=a^n ln a+b^n ln b-c^n ln c
n_{k+1}=n_k-(a^{n_k}+b^{n_k}-c^{n_k})/(a^{n_k}ln a+b^{n_k}ln b-c^{n_k}ln c)

该牛顿迭代公式为费马有效三元组量身而打造，对等腰、非等腰有效三元组均可求解临界指数，收敛速度快。

算例说明

- (5,5,6)，n_c≈3.80178，属于 n_c>2；
- (4,5,6)，n_c≈2.48794，属于 n_c>2；
- (3,4,5)，n_c=2.00000，勾股三元组；
- (5,5,7)，n_c≈2.06004，属于 n_c>2；
- (3,5,6)，n_c≈1.82255，属于 1<n_c<2；
- (5,5,8)，n_c≈1.47477，属于 1<n_c<2；
- (2,5,6)，n_c≈1.37251，属于 1<n_c<2；
- (4,5,7)，n_c≈1.58162，属于 1<n_c<2；
- (3,5,7)，n_c≈1.25666，属于 1<n_c<2；
- (4,5,8)，n_c≈1.20740，属于 1<n_c<2；
- (5,5,9)，n_c≈1.17925，属于 1<n_c<2。

附录

④ 临界指数

定义：a^{n_c}+b^{n_c}=c^{n_c}
模三元组：n_0=ln2 / ln((K+2)/(K+1))
牛顿迭代：n_{k+1}=n_k-(a^{n_k}+b^{n_k}-c^{n_k})/(a^{n_k}ln a+b^{n_k}ln b-c^{n_k}ln c)
唯一性：g(n)=(a/c)^n+(b/c)^n 严格递减，g(n_c)=1

⑤ 等腰族比值（核验用）

R(b,n)=2b^n/(b+1)^n → 2（b→∞）

小结

本文采用费马三元组全域二分，将全部正整数三元组划分为无效三元组与有效三元组两大类。以模等腰三元组为基底，借助垂直&#8209;水平双维变换生成全部有效三元组。利用临界指数刻画方程 a^n+b^n=c^n 的分界位置：等腰三元组拥有解析闭式，非等腰三元组依靠牛顿迭代求得临界指数。由临界指数非整数，全部有效三元组不存在整数解，由此得到：对整数 n>2，不定方程
a^n+b^n=c^n
没有正整数解。

朱明君

无解传递

全体有效三元组均可由某模三元组经两类操作生成：

1.垂直传递（等腰族）

模三元组 (K+1, K+1, K+2)，固定 a=b，c 递增至 2a-1。
c^n 增大，2a^n 不变，偏差单调扩大。

2.水平传递（非等腰族）

等腰族 (a, a, c)，固定 b,c，a 递减至 c-b+1。
a^n+b^n 减小，c^n 不变，偏差单调扩大。

n ≥ 3 时，所有有效三元组可以有牛顿适代公式计算出为正实数，除n=2勾股数外，由模三元组无解传导至全族，覆盖全域。