@@佩尔卢卡斯数列连续四项积加4恒为平方数

朱明君

佩尔卢卡斯数列连续四项积加4恒为平方

定义
佩尔-卢卡斯数列：
L_n = ((1+√2)^n + (1-√2)^n)/2

初值：
L_1=1，L_2=3，L_3=7，L_4=17，L_5=41，L_6=99，L_7=239，L_8=577，...

递推关系：
L_{n+2} = 2L_{n+1} + L_n

命题
L_n × L_{n+1} × L_{n+2} × L_{n+3} + 4 = [ L_n^2 + 3 L_n L_{n+1} + L_{n+1}^2 ]^2

数值核验
n=1
1×3×7×17+4 = 361 = 19^2
L_1^2+3L_1L_2+L_2^2 = 1^2+3×1×3+3^2 = 1+9+9 = 19

n=2
3×7×17×41+4 = 14641 = 121^2
L_2^2+3L_2L_3+L_3^2 = 3^2+3×3×7+7^2 = 9+63+49 = 121

n=3
7×17×41×99+4 = 483025 = 695^2
L_3^2+3L_3L_4+L_4^2 = 7^2+3×7×17+17^2 = 49+357+289 = 695

推导说明
由递推 L_{n+2}=2L_{n+1}+L_n，得 L_{n+2}-L_{n+1}=L_{n+1}+L_n
L_n L_{n+1}+(L_{n+2}-L_{n+1})^2
= L_n L_{n+1}+(L_{n+1}+L_n)^2
= L_n^2+3L_nL_{n+1}+L_{n+1}^2

恒等式结论
对任意正整数n：
L_n L_{n+1} L_{n+2} L_{n+3} + 4 = ( L_n^2 + 3 L_n L_{n+1} + L_{n+1}^2 )^2
佩尔卢卡斯数列任意连续四项之积再加4，结果必是完全平方数。