函数 f(x)=lgx+2x／(x+1) ，已知 f(a)+f(b)=2（a＞0,b＞0），求 (a+b)^2 的最小值

波斯猫猫

《数学期刊》典型的倒数函数最值问题
原创九五学长的数学小站2026年8月21日00:46江苏

luyuanhong发表于 2026-9-19 00:29

原题: 函数f(x)=lgx+2x/(x+1), 若f(a)+f(b)=2
(a＞0,b＞0), 求(a+b)^2的最小值.

由条件有, lg(ab)+2a/(a+1)+2b/(b+1)=2,

即lg[10√(ab)]=1/(a+1)+1/(b+1),

或lg(10√t)=1/(a+1)+1/(t/a+1)

=(2+a+b)/(t+1+a+b), (令ab=t)  

显然, 上述关于t的方程的左边是增函数, 右

边是减函数, 故此仅有一解t=1,

即ab=1. ∴(a+b)^2≥4ab=4.

注: 视典型为非典型, 一个代换直接搞定.

luyuanhong

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