两位北大学子联手解开随机曲线的几何难题：临界值之前已有分形地毯

luyuanhong

两位北大学子联手解开随机曲线的几何难题：临界值之前已有分形地毯

原创  数学家  数学家  2026 年 10 月 25 日 00:00  北京



刘浩宇，北京大学数学科学学院 2019 级本科，指导教师为丁剑。现为北京大学数学科学学院博士研究生，导师为孙鑫。研究兴趣为概率论、随机几何与统计物理，尤其关注 Schramm–Loewner 演化的几何性质。

庄子杰，北京大学数学科学学院 2017 级本科，现为宾夕法尼亚大学统计学 2021 级博士研究生（ 2026 年毕业），导师为丁剑和孙鑫。2026 年秋季起将赴日内瓦大学，在菲尔兹奖得主 Hugo Duminil-Copin 指导下从事博士后研究。他的研究聚焦于统计力学与随机几何，已在《数学物理通讯》《物理评论快报》等期刊发表多篇论文，并于 2025 年获宾夕法尼亚大学 J. Parker Memorial Bursk 研究卓越奖，2021 年获北京大学未名学士。

一、随机曲线从哪里来

想象你在一片广阔的平面上随机行走。每一步的方向完全随机，步长也随机，但你始终不停止。这样走出来的路径，在长时间尺度下会呈现出一种奇特的统计规律性。如果把这个“随机行走”连续化，让步长趋于零、步数趋于无穷，同时适当缩放空间尺度，你会得到一条连续的随机曲线，称为布朗运动。布朗运动是自然界中最基本的随机过程之一，花粉颗粒在水中的无规则运动、股票价格的短期波动，都可以用它来描述。

但布朗运动有一个令人困扰的性质：它太“粗糙”了。这条曲线几乎处处不可微，它在任意小的时间尺度上都充满剧烈的振荡。更麻烦的是，布朗运动是“自相交”的——它几乎必然会回到自己曾经经过的位置。这使得布朗运动不适合直接用来描述某些物理界面的形状，例如正在结冰的水面上冰与水之间的分界线，或者一张被随机撕开的纸的边缘。这些界面有一个共同特征：它们不应该自我交叉。

为了描述这类不自交的随机曲线，数学家 Oded Schramm 在 2000 年左右引入了一类全新的随机过程，称为 Schramm–Loewner 演化，简称 SLE 。SLE 的核心思想是：不直接构造曲线本身，而是构造一个随时间变化的“共形映射”，这个映射把曲线的增长过程编码为一维随机驱动函数。曲线从平面边界上的一个点出发，逐步向区域内部延伸，而映射则不断把尚未被曲线占据的区域“压回”一个标准区域。

这个构造的美妙之处在于，SLE 满足一个称为“共形不变性”的性质：如果你对平面做一个保持角度不变的变换（共形变换），SLE 曲线的统计规律不变。这意味着 SLE 不仅是某个特定区域中的随机曲线，而是一整类几何上等价的随机曲线。共形不变性是统计物理中临界现象的核心特征，因此 SLE 迅速成为连接概率论与统计物理的桥梁。

二、一个参数控制一切

SLE 只有一个参数，记为 κ 。不同的 κ 值对应不同的随机曲线。当 κ 很小时，曲线比较“温和”，倾向于平滑地延伸；当 κ 增大时，曲线变得越来越“纠结”，越来越频繁地接近自身，尽管它仍然不自交。

具体来说，当 0＜κ≤4 时，SLE 曲线几乎必然是一条简单曲线，即它不会触及自身，也不会触及区域的边界。当 4＜κ＜8 时，曲线开始“碰到”边界，但仍然不会自交。而当 κ＞8 时，曲线变得如此“密集”，以至于它会填满整个平面区域，不再是一条简单的曲线。

这些不同的行为对应着统计物理中不同的临界模型。例如，κ=2 对应环路擦除随机游走的边界，κ=3 对应 Ising 模型的界面，κ=4 对应高斯自由场的等高线，κ=6 对应渗流模型的界面。SLE 理论的一个惊人成就是，它用一个统一的框架解释了这些看似无关的物理模型的临界行为。

κ=8 是一个特殊的临界值。当 κ 接近 8 时，SLE 曲线的行为会发生剧烈变化。SLE(8) 曲线是“空间填充”的，它在平面上留下的轨迹不再是简单的曲线，而是一个具有复杂内部结构的集合。可以把它想象成一条无限长的、不断分叉的河流，它的支流填满了整个平原。

三、地毯结构的浮现

本文的核心问题是：当 κ 从下方趋近于 8 时，SLE(κ) 曲线是否已经呈现出 SLE(8) 那种“填满空间”的特征？更精确地说，是否存在一个正数，使得对于所有满足的κ，SLE(κ)曲线都包含一个拓扑 Sierpinski 地毯？

Sierpinski 地毯是一个经典的分形。它的构造方式很简单：从一个正方形出发，把它分成 9 个等大的小正方形，去掉中间的那个，然后对剩下的 8 个小正方形重复同样的操作，如此无限进行下去。最终留下的集合具有一个有趣的性质：它的面积为零，但它的拓扑维数仍然是 1 ，而且它包含无数条连通路径，这些路径可以绕过被挖去的“洞”。用拓扑学的语言说，Sierpinski 地毯是一个连通的、局部连通的、没有局部割点的紧致度量空间。

说一条 SLE(κ) 曲线“包含一个拓扑 Sierpinski 地毯”，并不意味着曲线本身就长得像一张地毯。它的含义是：在这条随机曲线所留下的轨迹集合中，存在一个子集，这个子集在拓扑意义上与 Sierpinski 地毯“同构”——也就是说，从拓扑学的角度看，它们具有相同的连通性结构和“洞”的分布方式。这是一个纯粹拓扑层面的结论，不依赖于曲线具体画成什么样子。

要证明这样的拓扑结构确实存在，作者使用了一种称为“共形焊接”的技术。共形焊接的直观想法是：取两个随机区域（在本文中，它们是量子圆盘），沿着它们的边界把它们“粘合”在一起，得到一个更大的曲面。如果粘合的方式足够随机，那么粘合处形成的曲线就会具有 SLE 的统计规律。通过控制粘合的随机性，作者能够证明，当 κ 足够接近 8 时，粘合曲线中包含一个 Sierpinski 地毯结构。

这个证明的关键在于一个“一致性”论证：如果对于某个 κ ，曲线包含地毯，那么对于所有更接近 8 的 κ ，曲线也包含地毯。这个性质使得作者只需要在一个足够接近 8 的范围内验证地毯的存在，而不需要处理所有 κ 值。

四、为什么这个结果重要

这个结果的意义可以从几个层面来理解。

在 SLE 理论内部，它填补了一个空白。此前，数学家们知道 SLE(8) 是空间填充的，也了解 κ＜4 时曲线的简单性，但对于 κ 接近 8 时曲线何时开始展现出“地毯状”的复杂结构，并没有精确的定量结论。本文给出了一个阈值：存在一个 δ0＞0 ，使得当 κ 进入 (8-δ0,8) 这个区间时，地毯结构就已经出现。这意味着从简单曲线到空间填充之间的过渡不是突然发生的，而是在 κ 接近 8 的过程中逐步展开的。

在更广泛的概率论与统计物理交叉领域，这个结果建立了 SLE 曲线与分形拓扑之间的新联系。Sierpinski 地毯是分形几何中最基本的对象之一，它在 SLE 中的出现暗示着临界现象中的随机几何可能普遍地具有分形拓扑结构。这为研究其他随机过程的分形性质提供了一个可借鉴的范式。

从方法论的角度看，共形焊接与量子圆盘的组合提供了一种处理 SLE 几何性质的新工具。传统的 SLE 分析通常依赖于 Loewner 方程的随机微分方程描述，而本文的方法则更多地从随机曲面的粘合几何出发。这两种视角的互补可能会催生新的技术。

一个值得注意的细节是，作者证明的是曲线“包含”一个拓扑 Sierpinski 地毯，而不是曲线“是”一个 Sierpinski 地毯。包含关系比等同关系弱，但也更灵活。它意味着即使 SLE(κ) 曲线在 κ 接近 8 时仍然具有某些简单的性质，它的轨迹集合中已经藏有一个复杂的分形拓扑子结构。这种“嵌套”式的结构在分形几何中并不罕见，但在 SLE 语境下的精确证明是新的。

五、从数学到直觉

对于不熟悉 SLE 的读者，可以用一个更直观的方式来理解这个结果。想象你在一片薄雾中画一条随机曲线。当 κ 很小时，这条曲线像一条细细的丝带，清晰地延伸，不回头。当 κ 逐渐增大时，丝带变得越来越宽，越来越频繁地弯折和接近自身，但它始终是一条可以辨认的“线”。

当 κ 趋近 8 时，这条“线”开始变得模糊。它不再是清晰的丝带，而是像一团不断扩散的墨迹。本文的结果告诉你：即使这团墨迹看起来还是模糊的、尚未完全填满整个区域，在它内部，已经形成了一种精细的网格状结构——就像一张被反复挖去中心孔洞的地毯，孔洞和连接路径以某种自相似的方式排列。这种结构在 κ 尚未到达 8 时就已经出现，说明空间填充的趋势在临界值之前就已经在几何上“预告”了自己的到来。

这个结果也提示了一个更深层的问题：在临界现象中，系统的宏观行为往往由少数几个参数控制（这里是 κ ），但这些参数在趋近临界值时，系统的微观几何结构会经历一系列“预临界”的相变。SLE 中的地毯结构可能只是这类预临界几何现象的第一个例子。未来是否能在其他随机几何模型中观察到类似的结构，是一个值得探索的方向。

SLE 理论自 2000 年诞生以来，已经从一个纯粹的数学构造发展为一个连接概率论、统计物理、共形场论和分形几何的枢纽。本文的结果延续了这一传统：它用一个具体的拓扑结论，把 SLE 的随机分析与经典的分形几何联系起来。对于学习数学或物理的本科生来说，理解 SLE 不需要掌握全部的技术细节，但理解“共形不变性控制随机曲线”“参数 κ 决定曲线的几何相”以及“临界值附近出现分形结构”这三个核心思想，就足以把握这个领域的基本面貌。

来源｜arXiv:2506.09609 及网络公开报道

撰文｜数学家编译小组

排版｜司徒

校对｜慧玲

责编｜燕北平