柯西不等式原来有“反面”：正用封顶，反用托底

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柯西不等式原来有“反面”：正用封顶，反用托底

原创  陈功  听名师讲数学  2026 年 10 月 25 日 12:51  天津

柯西不等式人人会背，可它还有个“反面”——反柯西不等式（Aczél 不等式），多数人从没学过。本文把两条不等式并排放在一起讲：柯西正着用，给椭圆封顶；反柯西反着用，给双曲线托底。根号里只有一个符号之差，一个加号、一个减号，分工却泾渭分明。全文从一行证明讲到拉格朗日恒等式，配三道典型例题与一道椭圆对照题，附完整规范解答与点评，适合高中生同步拔高与高三二轮复习使用。

大多数同学对柯西不等式的印象是：一个方向，一种用法，求最大值。

这话不算全错。柯西当然也能求最小值——只要条件里全是“平方和”。

真正让它哑火的，是另一种条件：平方差。

它的另一半叫反柯西不等式，也叫 Aczél 不等式。名字听着陌生，形式却只差一个符号。

一、先把两张“脸”认清楚



二、正用：给一个“和”封顶



三、反用：给一个“差”托底



四、把“封顶”和“托底”摆在一起



五、三条要记住的



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