朱火华新二维平面图体系（完整缩减稿·补入度数公式·可复制版）

朱明君

朱火华新二维平面图体系（完整缩减稿·补入度数公式·可复制版）

作者：朱火华

摘要

本体系独立定义广义二维平面图，将退化结构、重边、自环及规范交叉结构纳入统一框架。以“外围边界节点数 m”为核心参数，划分 A 类简单广义平面图与 B 类规范交叉图。A 类由基底三角剖分出发，经外弦内化、内弦外化、环模减边、树形添边四条路径实现双向全域构造，导出边数、面数、多孔洞修正与度数反推公式。B 类仅含完全图与完全二分图的规范交叉或叠加构型；完全图边数采用本体系展开构造式，平衡完全二分图采用本体系公式，完全图面数采用“原节点三元组叠加面口径”定义。传统三条公式仅列附录，正文公式均按本体系口径表述。

原创声明：除附录 A 所列三条传统公式仅作引用外，正文全部定义、参数、分类、构造路径、推导公式与判定规则均为朱火华独立原创成果。

关键词：二维平面图；外围边界节点数 m；边数连续区间；规范交叉图；平衡完全二分图；四色定理


一、体系总定义

A 类：简单广义平面图

无几何边交叉，允许至多一对重边、至多一个自环，允许孤立点、无边、单边、树、退化环等无交叉二维平面结构。连通规范代表图边数连续区间：

e ∈ [n-1, 3n-4]

规范图档数：

P = 2n-2

孤立点、无边、多连通分量等退化结构归入 A 类定义范围，但不参与上述连续区间和档数计算，按连通分量另行描述。

B 类：规范交叉图子类

仅包含完全图 K_n 与完全二分图 K_{p,q} 的规范交叉或叠加构型，允许边交叉，交叉点不计入节点。其他含交叉构型不纳入本体系。B 类不参与 A 类边数、面数公式体系。


二、符号

- n：总节点数
- m：外围边界节点数，0 ≤ m ≤ n
- d = n-m：围内节点数
- b：第二层环节点数
- a_F：A 类有限面数
- a_T：三角形面数
- a：三角形计数参数
- e：有效边数
- w：围内节点度数和
- W：总度数和
- N：孔洞围边节点总和
- v：孔洞个数
- f：总面数，A 类中 f = a_F + 1
- a_F^B：B 类叠加口径面数
- T_n：B 类完全图原节点三元组叠加面计数


三、A 类核心公式

3.1 m ≥ 1 最大构造通式

e_max = 3n - m - 3

基底递推：

e_max = (2n - 3) + (n - m) = 3n - m - 3

有限面数：

a_F,max = 2n - m - 2

基底递推：

a_F,max = (n - 2) + (n - m) = 2n - m - 2

总面数：

f_max = 2n - m - 1

自动满足体系导出恒等关系：

n - e_max + f_max = 2

3.2 特殊档位

- m = n：基底三角剖分
  e = 2n - 3，a_F = n - 2

- m = 3：普通外环
  e = 3n - 6，a_F = 2n - 5

- m = 2：重边退化外环
  e = 3n - 5，a_F = 2n - 4

- m = 1：自环退化外环
  e = 3n - 4，a_F = 2n - 3

3.3 m = 0 形式连续档

不代入 e = 3n - m - 3，按

e = n - 1, n, ..., 3n - 4

逐档构造，最大边数：

e_max = 3n - 4

连通规范代表图面数：

a_F = e - n + 1

最大档：

a_F,max = 2n - 3


四、A 类基底与四条构造路径

4.1 基底

外环 n 节点作三角剖分：

e = 2n - 3，a_F = n - 2，m = n，d = 0

基底为四条路径公共中心。

4.2 路径一：外弦内化

每步：

m → m - 1，d → d + 1，e → e + 1，a_F → a_F + 1

共 n - m 步，得：

e = 3n - m - 3，a_F = 2n - m - 2，m ≥ 1

4.3 路径二：内弦外化

每步：

m → m + 1，d → d - 1，e → e - 1，a_F → a_F - 1

回到基底。与路径一严格互逆，通式相同。

4.4 路径三：环模减边

从基底减环边及环内剖分线至连通树：

e = n - 1，a_F = 0

4.5 路径四：树形添边

从连通树添边并三角剖分回基底：

e = 2n - 3，a_F = n - 2

4.6 全域构造链

n - 1（树）→ 2n - 3（基底）→ 3n - 4（上限）

正向：

n - 1 → n → ... → 2n - 3 → ... → 3n - 4

逆向：

3n - 4 → ... → 2n - 3 → ... → n - 1

四条路径在规范代表意义下唯一对接。


五、A 类多孔洞修正

设孔洞围边节点总和 N，孔洞个数 v。

m ≥ 2

e = 3n - m - 3 - (N - 3v)
a_T = 2n - m - 2 - (N - 2v)
a_F = a_T + v

m = 1

e = 3n - 4 - (N - 3v)
a_T = 2n - 4 - (N - 2v)
a_F = a_T + v + 1

m = 0

以对应档位 e_0，a_F0 修正：

e = e_0 - (N - 3v)
a_T = a_F0 - (N - 2v)
a_F = a_F0 - (N - 2v) + v

总面数仍取 f = a_F + 1。


六、度数反推体系

一般度数关系：

W = 2e

最大构造下：

W = 2(3n - m - 3)

即：

W = 6n - 2m - 6

围内度数和：

w = 2e - 3m - b

最大构造下：

w = 6n - 5m - 6 - b

三角形计数关系：

w = 3a - 2m - b

使用时须注明 a 为三角形面数或体系内三角形计数口径。


七、B 类规范交叉图体系

7.1 完全图边数展开构造式

e = n + 2(n - 3) + ((n - 4)(n - 3))/2，n ≥ 4

7.2 平衡完全二分图公式

当总节点数 n 为偶数，且 p = q = n/2 时：

e = (n/2)^2

7.3 B 类完全图叠加面数公式

B 类不沿用 A 类面数公式。交叉点不计入节点，交叉局部不独立计面。B 类完全图面数采用“原节点三元组叠加面口径”定义：

a_F^B = T_n = C(n,3) = n(n - 1)(n - 2)/6，n ≥ 4

该式表示由 B 类完全图原节点中任取 3 个节点所确定的三元叠加面计数；不是传统欧拉面数，也不是把交叉点作为新节点平面化后所得小面数。

实例：

n：4  5  6  7  8  9
a_F^B：4 10 20 35 56 84


八、着色规则

1. A 类去自环简单平面图：四色可染。
2. B 类完全图 K_n：n 色定理。
3. B 类完全二分图 K_{p,q}：2 色可染。

A/B 两类划分下的着色适用边界判定规则为本体系自洽定义。


九、实例验证

A 类

取 n = 5，m = 3：

e = 15 - 3 - 3 = 9
a_F = 10 - 3 - 2 = 5
f = 6

5 - 9 + 6 = 2

度数：

W = 2(3×5 - 3 - 3) = 2(15 - 6) = 18

取 n = 6，m = 3：

e = 18 - 3 - 3 = 12
a_F = 12 - 3 - 2 = 7
f = 8

6 - 12 + 8 = 2

度数：

W = 2(3×6 - 3 - 3) = 2(18 - 6) = 24

B 类

取 n = 6：

a_F^B = C(6,3) = 20

取总节点数 n = 6 的平衡完全二分图，p = q = 3：

e = 3×3 = 9 = (6/2)^2


十、体系边界

- A 类：无交叉广义平面图，具有完整连续边数体系与面数通式。
- B 类：规范交叉完全图、完全二分图；完全图边数采用本体系展开构造式，平衡完全二分图采用本体系公式，完全图面数采用原节点三元组叠加口径 a_F^B = C(n,3)。
- A/B 分类、构型平面性判定边界为本体系定义。
- 交叉点是否作为节点须事先声明：A 类不把交叉点作为节点；B 类交叉点不计入节点，面数按叠加口径另行定义。
- B 类“规范交叉构型”不等同于传统图论平面性判定。


十一、纯代数构造核心

本体系不以外部面关系为前提，而以基底和四条路径作纯代数增量构造。对 m ≥ 1：

e = 3n - m - 3
a_F = 2n - m - 2
f = 2n - m - 1

自动满足：

n - e + f = 2

该恒等关系为体系导出结果。


十二、总公式总汇

1. 参数 m：外围边界节点数。
2. A 类边数通式：
   e = 3n - m - 3
   基底递推：
   e = (2n - 3) + (n - m)
3. A 类面数通式：
   a_F = 2n - m - 2
   基底递推：
   a_F = (n - 2) + (n - m)
4. A 类连续区间与档数：
   e ∈ [n - 1, 3n - 4]，P = 2n - 2
5. 四条构造路径：外弦内化、内弦外化、环模减边、树形添边。
6. 多孔洞修正公式。
7. 度数反推公式：
   W = 2e
   最大构造下：
   W = 2(3n - m - 3) = 6n - 2m - 6
   w = 2e - 3m - b
   最大构造下：
   w = 6n - 5m - 6 - b
   w = 3a - 2m - b
8. B 类完全图边数展开构造式：
   e = n + 2(n - 3) + ((n - 4)(n - 3))/2
9. B 类平衡完全二分图公式：
   e = (n/2)^2
10. B 类完全图叠加面数公式：a_F^B = C(n,3)
11. A/B 类构型分类定义与体系内平面性判定准则。
12. 基底选取、纯代数构造、导出恒等关系的论证框架。


十三、三大核心创新

1. 以全域参数 m 补齐平面图结构盲区；普通外环最大边数情形对应本体系 m = 3 档。
2. 纯代数四条对称构造路径，不依赖外部面关系作为构造前提，恒等关系后置导出。
3. 构型级分类：按具体嵌入构型区分 A 类无交叉结构与 B 类规范交叉结构，建立 A/B 两类划分与体系内判定规则。


十四、原创确权声明

除附录 A 所列三条传统公式仅作引用外，正文全部定义、参数、分类、构造方法、推导公式与判定准则均属于朱火华独立原创成果。


结语

本体系以 m 为核心独立变量，以基底三角剖分为公共中心，通过外弦内化、内弦外化、环模减边、树形添边四条路径实现 A 类双向全域构造。A 类公式闭环；B 类完全图边数采用展开构造式，平衡完全二分图采用本体系公式，完全图面数采用原节点三元组叠加口径

a_F^B = T_n = C(n,3)

正文公式均按本体系口径表述，传统三条公式仅列附录。


附录 A：传统引用公式（仅三条）

1. 完全图边数传统公式：
   e(K_n) = n(n - 1)/2
2. 完全二分图原始乘积公式：
   e(K_{p,q}) = p·q
3. 总度数与边数关系传统公式：
   W = 2e

以上三条仅为学界已有公式引用，不参与正文原创公式确权。
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