朱火华新二维平面图体系

朱明君

朱火华新二维平面图体系

独立公式汇总（体系内自洽版）

以下公式均在朱火华体系内独立定义与推导，不以前置传统图论结论为依据；与某些经典形式相同处，属于体系内独立复现。

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① 体系原生核心参数

n：总节点数

m：外围边界节点个数，体系核心结构参数

1 ≤ m ≤ n

b：第二层环上节点数

v：内部孔洞个数

N：所有孔洞围边总长度

e：总边数

a：三角形面数

W：全体节点度数和

w：围内节点度数和

p：固定 n 时规范图总档数

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② A类广义平面图体系公式

一、边数通式

无孔洞、无分层基础情形：

e = 3n - m - 3

基底递推关系：

e = (2n - 3) + (n - m)

验证：

(2n - 3) + (n - m) = 3n - m - 3

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二、三角形个数通式

无孔洞、无分层基础情形：

a = 2n - m - 2

基底递推关系：

a = (n - 2) + (n - m)

验证：

(n - 2) + (n - m) = 2n - m - 2

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三、边数连续区间与规范图档数

固定节点数 n 时，边数为连续整数区间：

e ∈ [n - 1, 3n - 4]

区间内规范图总档数：

p = 2n - 2

说明：

A类通式

e = 3n - m - 3，1 ≤ m ≤ n

随 m = 1, 2, ..., n 覆盖区间上段共 n 档：

e ∈ [2n - 3, 3n - 4]

完整区间下段

e ∈ [n - 1, 2n - 4]

由规范图其他构造补足。

因此：

p = 2n - 2

表示固定 n 时全部规范图总档数；A类通式对应其中上段 n 档。

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四、节点度数之和

W = 2e = 2(3n - m - 3)

即：

W = 6n - 2m - 6

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五、围内节点度数之和

1. 无孔洞情形

由边数导出：

w = 2e - 3m - b

由三角形个数导出：

w = 3a - 2m - b

无孔洞时两式等价。

由 w 反推边数：

e = (w + 3m + b) / 2

由 w 反推三角形个数：

a = (w + 2m + b) / 3

2. 含孔洞情形

含孔洞时，边数与三角形数先作孔洞修正：

e = 3n - m - 3 - (N - 3v)

a = 2n - m - 2 - (N - 2v)

此时若要保持围内度数和两式等价，可在体系内定义有效边界参数：

m_eff = m + N

统一写成：

w = 2e - 3m_eff - b

w = 3a - 2m_eff - b

若不作 m_eff 定义，则原围内度数和公式：

w = 2e - 3m - b

w = 3a - 2m - b

仅适用于无孔洞情形 N = 0。

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六、孔洞修正项

边数孔洞修正项：

-(N - 3v)

带孔洞边数：

e = 3n - m - 3 - (N - 3v)

三角形面数孔洞修正项：

-(N - 2v)

带孔洞三角形数：

a = 2n - m - 2 - (N - 2v)

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③ B类规范交叉图体系公式

一、完全图边数展开构造公式

e = n + (n - 3) + ((n - 3)(n - 2)) / 2

化简：

e = n(n - 1) / 2

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二、完全图三角形个数公式

点边共享、交叉边叠加下，三角形总数为：

a = n(n - 1)(n - 2) / 6

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三、平衡完全二分图边数公式

当 n 为大于等于 2 的偶数时，两部分节点数相等的平衡二分图边数：

e = (n / 2)^2 = n^2 / 4

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④ 体系核心公式总表

e = 3n - m - 3

a = 2n - m - 2

e = (2n - 3) + (n - m)

a = (n - 2) + (n - m)

W = 2e = 6n - 2m - 6

无孔洞：

w = 2e - 3m - b = 3a - 2m - b

e = (w + 3m + b) / 2

a = (w + 2m + b) / 3

含孔洞：

e = 3n - m - 3 - (N - 3v)

a = 2n - m - 2 - (N - 2v)

若定义 m_eff = m + N，则：

w = 2e - 3m_eff - b = 3a - 2m_eff - b

B类：

e = n + (n - 3) + ((n - 3)(n - 2)) / 2 = n(n - 1) / 2

a = n(n - 1)(n - 2) / 6

e = (n / 2)^2，n 为偶数

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⑤ 适用范围与体系内说明

1 ≤ m ≤ n

m = 3 时：

e = 3n - 6

a = 2n - 5

对应体系内经典极大平面图子情形。

m = 1, 2 时，体系允许退化边界、多重边或特殊构造；若限定为简单外边界，则应取 m ≥ 3。

固定 n 时：

e ∈ [n - 1, 3n - 4]

p = 2n - 2

A类通式覆盖上段 n 档：

e ∈ [2n - 3, 3n - 4]

其余档由规范图其他构造补足。

所有公式均为体系原生定义与构造推导结果，不引入任何传统图论前置结论。

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一句话总结：

朱火华体系以 m ≥ 1 为核心参数；A类通式覆盖上段 n 档；固定 n 总档数 p = 2n - 2；m = 3 为体系内经典子情形。

朱明君

三大核心创新

1. 全域参数 m 补齐所有平面图结构盲区，m=3 构型仅为本体系的一个子情形
2. 纯代数四条对称构造路径，不依赖外部恒等式，体系内恒等式作为导出结果
3. 构型级平面性判定：按嵌入构型区分，交叉即非平面，厘清4节点全连接交叉构型歧义，建立A/B两类划分