[转帖]层子模型的复兴与2002年北京国际数学家大会

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层子模型的复兴与2002年北京国际数学家大会
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编者按：在上世纪六十年代，国际上数学家们发现了代数拓扑中奇异上同调和现在被称为拓扑K-理论的另一类群之间的紧密联系。与此同时，由于时代的局限性和我国基础科学研究的滞后性，1966年7月23日至31日我国一部分学者，在北京举办的世界科协北京中心“1966年暑期物理讨论会”上，则挑战了类似扭量层上同调理论的“层”概念和函数类型，即他们报告了称为粒子物理最新研究成果的层子模型波函数。该层子模型认为：物质结构有无限的层次，在粒子层次上的构成组分是层子，但层子并不是物质最终的组成部分。但我国改革开放后，在科学春天的照耀下，约40年后的2002年8月20日，四年一度的国际数学家大会(ICM)在我国北京召开，两位获得菲尔兹奖章的数学家-----法国高等科学研究院的洛朗•拉佛阁(Laurent Lafforgue)和美国普林斯顿高等研究院的弗拉基米尔•沃沃斯基(Vladimir Voevodsky)，其中的沃沃斯基，他的主要成就，如在代数多样体上发展了的一种新的上同调理论，就涉及层子模型的复兴。
众所周知，代数几何和代数拓扑研究，都将极其强大的同调（和上同调）理论作为重要工具。例如在代数拓扑中流形的奇异上同调理论，定义的一系列上同调群，这些上同调群用群论的语言刻画了将这个流形分割成小块子流形，以及这些子流形如何拼回这个流形的信息。上同调群的群结构允许科学家们使用代数工具来研究流形的性质。凸多面体的欧拉公式“面数-棱数+顶点数=2”可以看作是从这种分割和粘贴的信息中得到有用的数学结果的一个极其初级的例子，同调理论描述流形性质的能力要远远超过这个简单例子。在代数流形上也可以建立同调理论，而且可以用不同的方法建立不同的同调理论，格罗登迪克建立的代数多样体上的层(sheaf)的上同调理论就是常用的一种。沿着这条道路，层子模型的复兴虽然也并不轻松，但科学家们也看到了层子模型复兴探索的一种方向。
上同调理论被称为motivic theory，也有人译为“动机理论”。这里如果提到动机理论，就不能不提亚历山大•格罗登迪克(Alexander Grothendieck)这位传奇性人物，1966年的菲尔兹奖章获得者。
菲尔兹奖章似乎特别优待代数几何学家，众多的得奖者的工作和代数几何有关：小平邦彦、J-P•塞尔(J-P. Serre)、A•格罗登迪克、广中平祐、D•曼福德(D. Mumford)、P•德利涅(P. Deligne)、G•法尔廷斯(G. Faltings)、森重文、M•孔塞维奇(M. Kontsevich)和沃沃斯基……如果把工作和代数几何有相关部分的得奖者算上（比如本次菲尔兹奖章的另一位得主拉佛阁），那么人数可能会达到所有菲尔兹奖章获得者的三分之一甚至一半。尽管代数几何王者辈出，但在许多代数几何学家的眼中，“上帝”却只有一个，那就是格罗登迪克。他几乎是凭一人之力奠定了现代代数几何的基础，将其建立在“概型”(Schema)的语言上。他写的四卷《代数几何基础》和七卷《代数几何讲座》堪称现代代数几何学的“圣经”。在代数几何圈子里，不用提这两套书的全名，只要说EGA和SGA，大家就知道你想说什么了。
代数几何的研究对象是由多项式方程所定义的代数多样体(algebraic variety，或称代数簇)，类似于拓扑学中由连续函数所定义的流形(manifold)。流形是对曲线、曲面这些概念的推广，可以有任意的维数。多项式的一个重要特性是它的全局性。对于一个一元连续实函数来说，它在开区间(0,1)上的性质和它在远处一个开区间比如(2,3)上的性质可以没有什么关系。但是如果我们知道一个一元实多项式在开区间(0,1)上的值，那么整个数轴上这个多项式的值也就被确定了（注意到两个n次多项式相等当且仅当它们在n个不同点上的值相同，而(0,1)上有无限个点）。所以代数多样体的性质比较“坚韧”，不象流形那样可以任意变形，因为在局部的变形会引起全局的变形。在代数多样体上的拓扑被称为查理斯基(Zariski)拓扑，和一般流形上的拓扑很不相同（举一个例子，在实数轴，即一维实仿射空间上，普通拓扑下开区间(0,1)是一个开集；而在查理斯基拓扑下，(0,1)并不是开集，一维实仿射空间上的查理斯基开集仅有空集，以及全集除去有限个点形成的集合）。这注定了拓扑和代数几何的研究方法和思路的极大不同。
代数几何是一门很古老的数学分支，但是由于多项式这种“坚韧性”，在格罗登迪克之前代数多样体一直没有一个内蕴的定义。当数学家研究一个代数多样体时，总需要首先把它嵌入到仿射或射影空间中，将其作为一个子多样体来研究，然后再证明研究结果和嵌入方式无关。这种方法既不漂亮又累赘。格罗登迪克创立的概型理论是代数几何的一次革命，它建立了内蕴的代数多样体概念，使交换代数学和代数几何的联系变得极其紧密（仿射概型理论就是交换环理论），大大方便了代数工具的使用，不仅原有的代数几何成果可以被优雅地写成概型的语言，而且代数几何的研究领域也大大扩展。
在这种语言下，代数几何专家终于可以象拓扑学家一样，用“粘贴”的手段来构造无穷无尽的新颖有趣的代数多样体，而原先在代数拓扑领域中使用的工具和方法也可以在代数几何中被大量借鉴。同调和上同调理论极其粗略地讲，在代数拓扑中流形的奇异上同调理论定义了一系列上同调群，上同调群的群结构允许使用代数工具来研究流形的性质。在代数流形上也可以建立同调理论，而且可以用不同的方法建立不同的同调理论，另外还有诸如对于不同的素数l定义的l-adic上同调以及下面提到的其它上同调理论等等，但是其中的几何意义就没有奇异上同调那样清楚了。二十世纪六十年代发现的代数拓扑中奇异上同调和现在被称为拓扑K-理论的另一类群之间的紧密联系。这种联系极其重要，因为从K-理论中我们也可以得到流形的拓扑、几何和算术方面的大量信息，其中一个例子就是流形的自同构映射群。
上同调群和K-理论的这种联系特别地表现在阿蒂雅-赫兹布鲁赫谱序列(Atiyah-Hirzebruch spectral sequence)中。谱序列是同调代数学家经常使用的计算工具，可以看作是一本无穷页的书，书的第0页是很容易得到的信息，以后每页都是由前一页的行列上的值按照某种方式计算出来的结果，而最后一页（可以看作是所有这些页结果的极限）则是我们需要计算的结果。阿蒂雅-赫兹布鲁赫谱序列提供了一大组从流形的上同调群到它的K-理论上的同构。更重要的是，它们也是环同构，这就是赫赫有名的陈氏示性类，以著名华裔数学家陈省身先生的名字命名。
数学家自然希望能够在代数几何的同调理论中也有相似的理论。虽然代数K-理论很快被构造出来，但是与之相对应的上同调理论却一直只在几个十分特殊的情形下才被构造出来，这已经被看做是当时代数几何方面最基本的进展。在另一方面，代数几何中已有的上同调理论也存在着缺陷。这些上同调理论往往需要代数多样体本身以外的拓扑和解析结构来定义，如贝蒂(Betti)上同调和霍奇(Hodge)结构；而且各种上同调群之间的联系也不紧密，比如对不同的素数l，同一个代数多样体上的l-adic上同调群之间没有明显的关系。格罗登迪克在1964年给塞尔的一封信中预言了有一类由代数闭链（即代数子多样体）形成的特别的数学对象的存在，通过这些对象可以构造出一个“万能”的上同调理论，其它所有的好的上同调理论都是由它派生出来的。这个万能的上同调理论应该具有奇异上同调在代数拓扑中的作用，尤其是应该有类似的阿蒂雅-赫兹布鲁赫谱序列，将上同调理论和代数K-理论联系起来，贝林松-里赫登鲍姆猜想即与此相关。
格罗登迪克把这个预言中的特别的数学对象取名为“动机”（法文为motif，英文为motive，意为主题，动机），因为有一种叫“代数联系”(algebraic correspondance)的代数子多样体“驱动”和暗示了动机理论的构造。这个名称可能来源于著名的印象派画家塞尚(Cézanne)的用法，塞尚用此词来描写他的印象派绘画方法，他首先选定一个“motif”，也就是一件物品，一个人，或者一个引人的场景，然后直接对它进行考察，记住它在心智中引起的不断变化的情感，接下去塞尚将他心中对motif的印象描绘在画布上。格罗登迪克提出了他对动机理论发展的具体计划。 动机理论中被理解得最清楚的是“纯(pure)动机”，它构造在光滑的代数多样体之上。纯动机理论的确立将主要取决于两个现在尚未得证的“标准猜想”的解决，其中一个就是价值百万美元的所谓的“千禧年七大数学难题”之一霍奇猜想。对于有奇性的代数多样体的研究需要发展“混合(mixed)动机”理论。许多数学家为了这个传说中的美丽壮观的理论作出了重要贡献，如德利涅、贝林松(A. Beilinson)、布洛赫(S. Bloch)、里赫登鲍姆(S. Lichtenbaum)等人，但是都只得到了对特殊的代数多样体成立的结果，大量基础性的命题都只是猜想，其中包括贝林松-里赫登鲍姆猜想、布洛赫-加藤猜想、贝林松-苏尔(Beilinson-Soule)消解及刚性猜想等等。
动机理论能否达到预言它的先知的期望？ 1987年安德烈•苏斯林(Andrei Suslin)在法国马赛郊区的吕米尼(Luminy)数学中心所作的报告中提出了使用代数闭链定义的同调理论，但是当时苏斯林同调的有用性并未立刻显现出来。直到1992年沃沃斯基才在他的哈佛大学博士论文和后续一系列论文中，利用格罗登迪克创立的范畴上的拓扑理论，由此同调理论中得到一个很好的上同调理论（同调理论的对偶），并猜想它就是长期以来被寻找的动机上同调。苏斯林和沃沃斯基又受拓扑同伦理论的启发，用仿射直线取代拓扑同伦理论中的闭区间[0,1]（正同前面所说对于开区间(0,1)的情况一样，在拓扑中性质良好的闭区间[0,1]并非代数多样体，无法直接在代数几何中运用），提出了在代数多样体上的“动机同伦”理论。这是一项极其抽象和形式化的工作，尤其是苏斯林动机上同调理论的建立，牵涉到一系列三角范畴和导出范畴的构造。这种范畴论上的抽象工作很容易陷入空对空的玄学式讨论，长篇大论却无实际结果。但是沃沃斯基在这方面处理得很好，既能发展抽象概念，又能使用这些概念解决重大的实际问题，颇有格罗登迪克之风。这些新理论带来的其中最重要的实际成果是解决了米尔诺(Milnor)猜想，这是近年来数学理论中最重要的突破之一。
米尔诺猜想正是一个前面提到的将(伽罗华)上同调理论和代数K-理论联系起来的命题，也涉及二次型理论，是代数K-理论二三十年来中最重要的问题之一。更为重要的是它的解决为贝林松-里赫登鲍姆猜想、布洛赫-加藤猜想的解决迈出了极其关键的第一步。事实上，米尔诺猜想是布洛赫-加藤猜想在素数2时的特殊情况，数学家们还需要证明此猜想对奇素数也成立。而苏斯林和沃沃斯基的工作进一步表明布洛赫-加藤猜想蕴含贝林松-里赫登鲍姆猜想。这为贝林松-里赫登鲍姆猜想的解决勾画了一个大致的方案，这个猜想的解决将是代数K-理论中革命性的进步。 虽然数学家们还未确信苏斯林和沃沃斯基的动机理论就是格罗登迪克当年想像中的那个“万能”的统一理论，但是这个理论的巨大成功使人们对此鼓起充足的信心。