[原创]四色猜测的又一种简单证明方法

雷明85639720

[watermark]四色猜测的又一种简单证明方法
雷明
（二○○九年十一月二十五日）
地图是一个平面图，平面图的对偶图仍是平面图。给地图中面的着色就相当于给其对偶图的顶点着色。地图是一个3—度正则的平面图，即图中各顶点均连有3条边，其对偶图一定是一个极大图，即图中所有的面均是3—边形，即3—圈。极大图的边数在相同顶点数的图中是最多的，即极大图中顶点之间的相邻关系在平面图中也是最复杂的。一个极大图如果能够4—着色，那么非极大图和地图也就一定能够4—着色。所以我们在证明四色猜测时只要证明极大图能够4—着色就行了。现采用数学归纳法证明如下：
1、当图中顶点数v＝1时，是一个K1图，用一种颜色就可以了，色数γ＝1；
2、当图中顶点数v＝2时，是一个K2图，用两种颜色也就可以了，色数γ＝2；
3、当图中顶点数v＝3时，是一个K3图，这时图已具有了极大图的性质，图中的两个面均是3—边形面，这时用三种颜色也就可以了，色数γ＝3；
由于极大图的面均是3—边形面，所以无论在那个面中增加一个顶点，最多也只增加3条边，该顶点最多只能与3个顶点相邻，即该顶点周围的顶点最多只用了3种颜色，这时该顶点只能着上与其周围的3个顶点都不同的颜色就完全可以满足着色的要求。所以
4、当在顶点数v＝3的K3图中的任一个面中增加一个顶点即v＝4时，图就成了一个K4图，增加的这个顶点就只能用第四种颜色，则色数γ＝4；
5、当在v＝4的基础上，在某个面中再增加一个顶点时，其周围也只有三个顶点，也只能增加3条边，否则图中就会出现交叉边，就会成为非平面图。与其相邻的三个顶点只能占用三种颜色，还有一种颜色可供该点着上，其色数γ还是4；
6、往后一次次的增加顶点数，所增加的顶点总能着上前面已用过的四种颜色之一，所以说当v＝n时，γ＝4，这说明了有n个顶点的极大图是可以4—着色的；
7、当v＝n＋1时，顶点虽增加了1，但这个顶点仍可使用已用过的四种颜色之一，即其色数γ还是4。
到此，就证明了极大图的四色猜测是正确的，同时也就证明了作画意平面图和地图的四色猜测是正确的。
雷明
二○○九年十一月二十五日于长安
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想尔

楼主的思路很好，大方向是对的，不过有个地方想和楼主商榷一下，就是在v＝4到N的过程中，并不是都只在一个三角形中加点，有时是可以断开一个（或相邻多个）连接而形成大于三度环，再加一个点与这大于三度的环内的每个点连接的。

雷明85639720

想你：
    谢谢你看我的文章。你说的问题是不存在的，因为我的文章前提是在极大图中的面中增加一个顶点和3条边，仍是一个极大图，这样继读增加下去，仍是在极大图中增加顶点的，这个所增加的顶点也只与3个顶点相邻，所以也只会用到与其他三个顶点不相同的第四种颜色。我说的不知你明白了没有，可以再讨论。雷明。2010，2，22。