用中国剩余定理计算欧拉函数中的正整数和偶数哥德巴赫猜想的答案

白新岭

以前我总觉着，既然用普通公式=1/(m-1)!*调节系数*符合条件的元素个数^m/n，这里简化后为：1/(m-1)!*总方法*t^(m-1),这里只有实际公式的最高次项，其余的都没有，问什么在周期值比较大时，会与实际值近似相等呢？
原因在于，准确公式的周期t值是整数，而且是整周期值，大于周期的值，即小数部分是不计算在内的，而这里的值为n/公共周期，即含大于一个周期的部分，也含小于一个周期的部分（另外对于正好1个周期时，在准确公式中，t=0,而在元素个数的普通公式中，这时取值为1，这是两种算法中，t的差别最大一种情况，当然对于任何整周期都是这样大的差距（两种t值相减为1），其余任何情况下，两种不同算法的t值差距小于1.

白新岭

一下为4个条件下两种算法的比较表（一种是用准确公式计算得到的值，另一种是用1/2*调节系数*符合条件的元素个数^3/n=1/2*总合成方法*(n/210)^2,总合成方法=准确公式中的系数a,即t^2的系数）：
n值→mod(n,210)→INT[(n-1)/210]→t^2的系数a→t的系数b→常数c→精确值→2a△t→a△t^2→近似值→1次项差→常数差→总误差→相对误差
10501→1→50→1209→69→0→1512975→11.51428571429→0.0274149659864148→1511537.87085034→1437→-1→1436→0.000949123
10503→3→50→806→40→2→1008501→23.0285714285685→0.164489795918325→1008075.79653061→424→0→424→0.000420426
10505→5→50→1116→54→0→1396350→53.1428571428609→0.63265306122458→1396328.8877551→21→-1→20→1.43231E-05
10507→7→50→1170→60→0→1464000→77.9999999999956→1.29999999999985→1464450.65→-450→-1→-451→-0.00030806
10509→9→50→806→42→0→1008550→69.0857142857169→1.48040816326542→1009227.88306122→-678→-1→-679→-0.000673244
10511→11→50→1209→165→0→1515375→126.657142857138→3.31721088435349→1514418.08717687→958→-2→956→0.000630867
10513→13→50→1209→165→6→1515378→149.685714285718→4.63312925170091→1514994.45942177→382→0→382→0.000252082
10515→15→50→744→114→6→932853→106.285714285711→3.79591836734672→932659.040816327→192→1→193→0.000206892
10517→17→50→1209→195→0→1516125→195.742857142861→7.92292517006832→1516147.53289116→-19→-4→-23→-1.51703E-05
10519→19→50→1209→195→6→1516128→218.771428571423→9.89680272108798→1516724.23411565→-595→-2→-597→-0.000393766
10521→21→50→780→180→6→979503→156.000000000002→7.80000000000022→978903.9→599→-1→598→0.000610514
10523→23→50→1209→279→6→1518228→264.828571428566→14.5025170068021→1517877.96554422→354→-5→349→0.000229873
10525→25→50→1116→252→18→1401309→265.714285714289→15.8163265306126→1401650.76530612→-343→1→-342→-0.000244058
10527→27→50→806→186→6→1012153→207.257142857139→13.3236734693873→1012688.09040816→-532→-4→-536→-0.000529564
10529→29→50→1209→309→12→1518981→333.914285714289→23.0559863945582→1519609.38513605→-623→-6→-629→-0.000414093
10531→31→50→1209→399→30→1521240→356.942857142852→26.3457823129243→1520186.74431973→1051→1→1052→0.000691541
10533→33→50→806→266→20→1014160→253.314285714288→19.9032653061228→1013842.80877551→317→0→317→0.000312574
10535→35→50→1080→360→24→1359012→359.999999999995→29.9999999999991→1359015→0→-3→-3→-2.20749E-06
10537→37→50→1209→411→30→1521540→426.028571428574→37.5310884353746→1521919.47982993→-376→-4→-380→-0.000249747
10539→39→50→806→268→20→1014210→299.371428571425→27.7987755102034→1014998.18510204→-785→-4→-789→-0.000777945
10541→41→50→1209→495→42→1523646→472.085714285717→46.0845578231298→1523075.18513605→572→-3→569→0.000373446
10543→43→50→1209→531→60→1524555→495.11428571428→50.6902721088423→1523653.20227891→897→4→901→0.000590992
10545→45→50→744→324→36→938118→318.857142857144→34.1632653061228→937988.510204082→128→0→128→0.000136443
10547→47→50→1209→525→48→1524399→541.171428571422→60.5596598639442→1524809.56554422→-405→-7→-412→-0.00027027
10549→49→50→1170→510→66→1475283→546.000000000002→63.7000000000005→1476181.85→-901→1→-900→-0.000610052
10551→51→50→806→410→50→1017775→391.48571428571→47.5375510204071→1017310.91163265→462→1→463→0.000454914
10553→53→50→1209→627→72→1526961→610.257142857145→77.0086394557829→1526544.93289116→418→-3→415→0.000271782
10555→55→50→1116→576→90→1409445→584.571428571423→76.5510204081617→1409652.56122449→-215→6→-209→-0.000148285
10557→57→50→806→430→56→1018278→437.542857142858→59.380816326531→1018468.26183673→-189→-2→-191→-0.000187572
10559→59→50→1209→657→90→1527720→679.34285714285→95.4314965986376→1528281.28717687→-559→-3→-562→-0.000367868
10561→61→50→1209→747→120→1529985→702.37142857143→102.011088435375→1528860.2912585→1115→8→1123→0.000733994
10563→63→50→780→480→72→987036→467.999999999996→70.1999999999987→986735.1→300→0→300→0.00030394
10565→65→50→1116→684→114→1412157→690.857142857144→106.918367346939→1412324.8877551→-172→3→-169→-0.000119675
10567→67→50→1209→741→120→1529835→771.457142857136→123.065782312923→1530597.96146259→-762→-2→-764→-0.0004994
10569→69→50→806→494→80→1019890→529.657142857144→87.0151020408167→1020784.93612245→-892→-4→-896→-0.000878526
10571→71→50→1209→867→156→1533003→817.514285714278→138.198843537413→1531756.95656463→1237→8→1245→0.000812131
10573→73→50→1209→861→162→1532856→840.542857142858→146.094353741497→1532336.61860544→511→7→518→0.000337931
10575→75→50→744→534→108→943404→531.428571428567→94.8979591836719→943333.163265306→64→6→70→7.41994E-05
10577→77→50→1170→840→162→1483581→858.000000000001→157.3→1484028.65→-451→2→-449→-0.000302646
10579→79→50→1209→873→162→1533156→909.628571428564→171.096802721086→1534076.26268707→-916→-5→-921→-0.000600722
10581→81→50→806→642→132→1023616→621.771428571429→119.91306122449→1023104.2422449→505→6→511→0.000499211
10583→83→50→1209→963→198→1535424→955.685714285707→188.861700680269→1535236.57370748→182→4→186→0.000121139
10585→85→50→1116→918→210→1418055→903.428571428572→182.836734693878→1417677.13265306→364→13→377→0.000265857
10587→87→50→806→662→140→1024120→667.828571428566→138.335918367345→1024264.8822449→-146→0→-146→-0.000142561
10589→89→50→1209→993→210→1536180→1024.77142857143→217.153945578232→1536977.86268707→-795→-4→-799→-0.000520121
10591→91→50→1170→1050→252→1488876→1013.99999999999→219.699999999997→1487959.85→900→16→916→0.000615229
10593→93→50→806→724→170→1025685→713.885714285715→158.074693877551→1025426.18020408→252→5→257→0.000250564
10595→95→50→1116→1008→246→1420323→1009.71428571428→228.387755102037→1420357.05102041→-43→8→-35→-2.46423E-05
10597→97→50→1209→1089→252→1538601→1116.88571428571→257.947414965987→1539301.11656463→-698→-3→-701→-0.000455609
10599→99→50→806→744→180→1026190→759.942857142852→179.129387755099→1026588.13612245→-399→0→-399→-0.000388817
10601→101→50→1209→1215→312→1541781→1162.94285714286→279.660068027211→1540463.40146258→1301→16→1317→0.000854207
10603→103→50→1209→1209→312→1541631→1185.97142857142→290.845374149656→1541044.70840136→575→10→585→0.000379468
10605→105→50→720→720→192→918096→720→180→918090→0→6→6→6.53526E-06
10607→107→50→1209→1209→312→1541631→1232.02857142858→313.873945578236→1542207.6512585→-576→-1→-577→-0.000374279
10609→109→50→1209→1203→306→1541478→1255.05714285714→325.717210884354→1542789.28717687→-1302→-10→-1312→-0.000851131
10611→111→50→806→868→242→1029321→852.057142857148→225.186530612248→1028914.02183673→398→8→406→0.000394435
10613→113→50→1209→1329→372→1544661→1301.11428571429→350.061700680272→1543952.8879932→697→10→707→0.000457706
10615→115→50→1116→1224→354→1425777→1222.28571428572→334.673469387759→1425724.47959184→42→9→51→3.577E-05
10617→117→50→806→888→252→1029826→898.114285714285→250.188979591837→1030077.95163265→-253→0→-253→-0.000245673
10619→119→50→1170→1290→372→1494936→1326.00000000001→375.700000000004→1495837.85→-901→-2→-903→-0.000604039
10621→121→50→1209→1425→426→1547088→1393.22857142857→401.382517006802→1546281.40554422→794→12→806→0.000520979
10623→123→50→806→950→284→1031392→944.171428571434→276.507346938779→1031242.53938776→145→3→148→0.000143495
10625→125→50→1116→1314→408→1428054→1328.57142857143→395.408163265306→1428411.98979592→-365→6→-359→-0.000251391
10627→127→50→1209→1455→444→1547847→1462.31428571429→442.175986394562→1548028.94513605→-183→0→-183→-0.000118229
10629→129→50→806→970→296→1031898→990.228571428571→304.141632653061→1032407.78510204→-506→-5→-511→-0.000495204
10631→131→50→1209→1545→498→1550124→1508.37142857144→470.468231292522→1549194.51982993→915→13→928→0.000598662
10633→133→50→1170→1500→492→1500246→1482→469.299999999999→1499784.65→450→11→461→0.000307283
10635→135→50→744→954→318→954009→956.571428571433→307.469387755105→954068.020408163→-65→5→-60→-6.28925E-05
10637→137→50→1209→1557→510→1550430→1577.45714285714→514.551496598639→1550943.70431973→-512→-3→-515→-0.000332166
10639→139→50→1209→1551→498→1550274→1600.48571428572→529.684557823134→1551526.98513605→-1238→-16→-1254→-0.000808889
10641→141→50→806→1118→392→1035646→1082.34285714286→363.357959183673→1034740.25040816→891→14→905→0.000873851
10643→143→50→1209→1677→588→1553469→1646.54285714286→560.608639455787→1552693.8757483→761→13→774→0.00049824
10645→145→50→1116→1548→546→1433973→1541.14285714286→532.061224489795→1433794.60204082→171→6→177→0.000123433
10647→147→50→780→1080→372→1002186→1092→382.200000000003→1002491.1→-301→-6→-307→-0.00030633
10649→149→50→1209→1671→582→1553316→1715.62857142857→608.639659863944→1554445.03411565→-1116→-14→-1130→-0.000727476
10651→151→50→1209→1761→642→1555596→1738.65714285715→625.088639455787→1555028.97289116→558→8→566→0.000363848
10653→153→50→806→1182→432→1037266→1174.45714285714→427.837959183673→1037075.34755102→188→2→190→0.000183174
10655→155→50→1116→1656→630→1436715→1647.42857142858→607.979591836739→1436489.70408163→214→11→225→0.000156607
10657→157→50→1209→1791→654→1556352→1807.74285714285→675.751496598638→1556781.44717687→-419→-11→-430→-0.000276287
10659→159→50→806→1202→446→1037773→1220.51428571429→462.051836734697→1038243.88306122→-463→-9→-472→-0.00045482
10661→161→50→1170→1830→726→1508613→1794→687.699999999998→1507693.85→900→19→919→0.000609169
10663→163→50→1209→1893→732→1558941→1876.82857142858→728.388231292522→1558534.90840136→404→1→405→0.000259792
10665→165→50→744→1164→456→959328→1169.14285714286→459.306122448978→959458.224489796→-129→-2→-131→-0.000136554
10667→167→50→1209→1887→738→1558794→1922.88571428572→764.575986394563→1559704.43085034→-898→-14→-912→-0.000585068
10669→169→50→1209→1923→756→1559703→1945.91428571428→782.998843537413→1560289.35656463→-573→-14→-587→-0.000376354
10671→171→50→806→1344→558→1041379→1312.62857142858→534.427346938779→1040582.92795918→784→11→795→0.000763411
10673→173→50→1209→2007→828→1561839→1991.97142857143→820.5025170068→1561459.53697279→375→3→378→0.000242022
10675→175→50→1080→1800→744→1395372→1800.00000000001→750.000000000004→1395375→-1→-4→-5→-3.58327E-06
10677→177→50→806→1346→560→1041430→1358.68571428571→572.588979591835→1041753.43734694→-318→-7→-325→-0.000312071
10679→179→50→1209→2019→840→1562145→2061.05714285715→878.402925170073→1563215.63003401→-1052→-20→-1072→-0.000686236
10681→181→50→1209→2109→912→1564431→2084.08571428571→898.141700680269→1563801.21370748→622→6→628→0.000401424
10683→183→50→806→1426→626→1043463→1404.74285714286→612.066530612248→1042924.60469388→531→6→537→0.000514633
10685→185→50→1116→1980→882→1444941→1966.28571428571→866.102040816324→1444590.19387755→342→7→349→0.000241532
10687→187→50→1209→2139→936→1565193→2153.17142857143→958.673945578236→1565558.62268708→-355→-12→-367→-0.000234476
10689→189→50→780→1380→606→1009803→1404→631.799999999998→1010415.9→-600→-13→-613→-0.000607049
10691→191→50→1209→2223→1020→1567335→2199.22857142858→1000.12537414966→1566730.77697279→594→9→603→0.000384729
10693→193→50→1209→2223→1014→1567332→2222.25714285714→1021.18006802721→1567317.01860544→18→-4→14→8.93238E-06
10695→195→50→744→1374→636→964668→1381.71428571429→641.510204081635→964863.612244898→-193→-3→-196→-0.000203179
10697→197→50→1209→2253→1050→1568100→2268.31428571428→1063.94741496598→1568489.83085034→-383→-7→-390→-0.000248709
10699→199→50→1209→2253→1044→1568097→2291.34285714286→1085.66006802722→1569076.40146259→-959→-21→-980→-0.000624961
10701→201→50→806→1570→764→1047132→1542.91428571428→738.394693877549→1046442.0544898→677→12→689→0.000657988
10703→203→50→1170→2280→1110→1520055→2262→1093.3→1519596.65→449→8→457→0.000300647
10705→205→50→1116→2178→1062→1449981→2178.85714285714→1063.48979591836→1450003.17346939→-22→-1→-23→-1.58623E-05
10707→207→50→806→1572→768→1047184→1588.97142857143→783.13591836735→1047615.85367347→-425→-8→-433→-0.00041349
10709→209→50→1209→2349→1140→1570545→2406.48571428571→1197.5131292517→1572010.89942177→-1438→-29→-1467→-0.000934071

白新岭

根据上楼的数据，可知随着周期t的增大，相对误差越来越小，可是话又说回来，在偶数歌猜和奇数歌猜中，一般情况下不到1个周期，这怎么有可能周期值相当大呢？不能使周期扩大，那问什么，近似值公式（普通公式）计算出来的值没有变大误差，而是随n的增大而减小呢？这个问题是因为常数项的误差不随t的增大而改变，也就是说两种方法计算时，无论t有多么大，也不管它是否为0，常数项的误差是不变的，在上面周期为50时，常数项在一周的误差累计为35，当t=0时，即n在1-209这个初周期内，常数项的累计误差也是35.这是没有区别的，再一个原因，我们知道到，当t=0时，2次项都为0（任何时候，2次项的值没有误差），一次项的值也为0，这就把误差锁定在常数项上了。
说了好多了，还没有说出自己怎么比较的这两种方法，问题简单，精确公式的统一形式是（at^2+bt+c）/2这里的t=INT((n-1)/210),近似值公式同一形式公式为at^2/2,t=n/210;现在把后边这个t用前面公式的t+△t0代替，则后边的可以写成[at^2+2a△t0*t+a(△t0)^2]/2,这样就可以比较了，最高次项值相同，一次项的差为：t*(b-2a△t0)/2,常数项的差为[c-a(△t0)^2]/2,最后这个差在一周内的累计值在任何t周期内不变。

白新岭

白新岭   门派: 独木星空
  

等级: 天使
信息:     
威望: 0　积分: 1199
现金: 16 金币
存款: 139686 金币
贷款: 没贷款
来自: 河北保定曲阳县　
发帖: 1116 篇
精华: 0 篇
资料: 　　
在线: 569 时 42 分 40 秒
注册: 2008/11/05 00:45pm
造访: 2010/01/29 08:59am
  消息　查看　搜索　好友　复制　引用　回复　只看我　 [楼 主]

  大家知道欧拉函数吗？φ(n)，它表示n内与n互质的个数，当n是质数时，φ(P)=P-1；/\*aO*
现在我规定一种函数，Hm(n，k)=φ(n),m=2时，n为不同质数构成时，而且每个素数出现的^y;6
                   dín   dínx
次数为1，且k=n。如果k≠n,而k=mod(N,n),即为值N相对于n的余数，设(k,n)的公因数为Pj，则Hm(n，k)=∏φ(Pj)*∏[φ(Pi)-1],注意Pj是它们共同拥有的因子，而Pi只是n拥有，而k不含有，对于k的其它因子不参考（意思是说，如果仅有k含有某个因子，而n并没有此因子时，对此因子不做处理，不予考虑）。对每个因子只做一次处理。cw
下面是一些具体例子，H2(30，30)=φ(30)=8；H2(30，28)=φ(2）*[φ(3）-1]*[φ(5）-1]=1*1*3=3,因为余数28除因子2与30共同拥有外，不含30的其它因子，所以都要用欧拉函数的值减1；H2(30，20)=φ(2）*[φ(3）-1]*φ(5）=1*1*4=4，因为20与30含有共同因子2，5所以用欧拉函数值，而20不含因子3，所以欧拉函数值去了一个；H2(30，12)=φ(2）*φ(3）*[φ(5）-1]=1*2*(4-1)=6，因为12与30含有共同因子2，3所以用欧拉函数值，而12不含因子5，所以欧拉函数值去了一个.<!
不知到大家对H2(n，k)函数的定义是否看的懂，这里的n是有限制的，只能有互质数的积构成，不能有相同的因子。数字2代表2元加法运算，类似群的2元运算，说是加法运算，实际上是对符合条件的两个元素做平常加法运算后对n求余数，余数k出现的次数就是此函数的表示值。hXVLpA

[补充该文...]
  




g(m)=2/（m-1)!*∏(1+Pi/((Pi-1)^m-1))∏(1-1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m　，2ㄧm；2ㄧn,n≥3m。
G(m)=2/(m-1)!*∏{1-Pi/[(Pi-1)^m+1]}*∏(1+1/(Pk-1)^m)*n^(m-1)/(LN(n))^m，m为奇数；n为奇数,n≥3m。
（Pi≥3,Piㄧ√n,是素数，且小于√n；Pk≥3,是素数，且小于√n）




编辑　2009/12/13 11:00am　IP: 已设置保密

白新岭

上贴是从基础数学中复制过来的，里面用到了欧拉函数。
连接:<http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=8623&start=0&#35;4
[原创]加法合成方法数目函数