某班成绩的平均值为 63 分，标准差为 3 分，可以说成绩大概在 60～66 分之间吗？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

平均 63 分   標準差 3  分 可以理解為 大概班上成績在  60 ~ 66  之間嗎?

luyuanhong

问  某班成绩的平均值为 63 分，标准差为 3 分，可以说成绩大概在 60～66 分之间吗？

答  可以这么说。但是，说“大概”，概念还比较模糊，其实，我们还可以表达得更精确一些。

    设成绩为随机变量 X ，通常可以认为 X 服从正态分布，它的平均值为 63 ，标准差为 3 。

    X 中心化标准化后，得到的标准化随机变量 X'=(X-63)/3 服从标准正态分布 N(0,1) 。

    因此，我们可以精确计算出，成绩在 60～66 分之间的概率为

      P{60≤X≤66} = P{-3≤X-63≤3} = P{-1≤(X-63)/3≤1} = P{-1≤X'≤1}

      = Φ(1)-Φ(-1) = Φ(1)-[1-Φ(1)] = 2Φ(1)-1 = 2×0.8413-1 = 0.6826 。

    也就是说，成绩在 60～66 分之间的概率为 0.6826 ，大约是 68.3% 。