级数展开的筛法解释(续）

小草

            级数展开的筛法解释(续）
   当N=1000时，筛去所有p≤100^0.5的素因子，我们有
       π(100)1=25
       π(100)2=25
       π(100)3=22
       π(100)4=22
       π(100)5=24
       π(100)6=22
       π(100)7=23
       π(100)8=23
       π(100)9=23
       π(100)10=22
       Σ10  π(100)k=(100*25-19)=231
       Σ10   g(100)k=(100*75+19)=769
   筛去所有p≤1000^0.5的素因子，我们有
       Σ10  π(100)k=100*16.8=168
       Σ10   g(100)k=100*83.2=832
   其中
           1.595691469*1000/ln1000=231
           1.160502887*1000/ln1000=168
    当N=10000时，筛去所有p≤1000^0.5的素因子，我们有
        Σ10  π(1000)k≈(1000*168)=1680
        Σ10   g(1000)k≈(1000*832)=8320
   筛去所有p≤10000^0.5的素因子，我们有
        Σ10  π(1000)k=(1000*122.9)=1229
        Σ10   g(1000)k=(1000*877.1)=8771
   其中
            1.547337183*10000/ln10000=1680
            1.131950832*10000/ln10000=1229
            1680/1229=1.366965012
   
   则有limn→∞ 10*π(10^n-1)/π(10^n)=1
   我们有
            10*(1000/ln1000)=1448
            10000/ln10000=1086
            1448/1086=1.333333333
            命(10*π(10^n-1))/π(10^n)=Q0
              (10*(10^n-1/ln10^n-1))/(10^n/ln10^n)=Q
            limn→∞ Q0/Q=1
            10000/ln10000=1086
            1229-1086=143
            10000/(ln10000)^2=118
            143-118=25
            10000/(ln10000)^3=13
            25-13=12
            8*10000/(ln10000)^4=11
            12-11=1
            7*10000/(ln10000)^5=1
    所以
            π(10000）=1*10000/ln10000+1*10000/(ln10000)^2+1*10000/(ln10000)^3+8*10000/(ln10000)^4+7*10000/(ln10000)^5
            π(10^22)=1*10^22/ln10^22+1*10^22/(ln10^22)^2+2*10^22/(ln10^22)^3+6*10^22/(ln10^22)^4+26*10^22/(ln10^22)^5+35*10^22/(ln10^22)^6+
12*10^22/(ln10^22)^7+6*10^22/(ln10^22)^8+48*10^22/(ln10^22)^9+48*10^22/(ln10^22)^10+44*10^22/(ln10^22)^11+31*10^22/(ln10^22)^12
+28*10^22/(ln10^22)^13
             作者施承忠       2010.4.12