一个正整数的立方的末三位是 999 ，称这样的数为“久违数”，求第二小的这样的数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

风花飘飘

末位为9，所以个位也是9。
设方程 (10*x+9)^3=(1000*y+999)
得y = (100*x^3+270*x^2+243*x-27)/100
即100*y=(100*x^3+270*x^2+243*x-27)

代回(10*x+9)^3=(1000*y+999)=(1000*x^3+2700*x^2+2430*x-270)+999
即(10*x+9)^3=(1000*x^3+2700*x^2+2430*x+729)

推得：
x= (100 *n + 99)
y= (1000000 *n^3 + 2997000 *n^2 + 2994003* n + 997002)

(10*(100*n+99)+9)^3

举例：
=997002999
=7988005999

风花飘飘

9^3 =729               =10^1*(9^2-9)+9
99^3 =970299              =10^2*(99^2-99)+99
999^3 =997002999             =10^3*(999^2-999)+999
9999^3 =999700029999            =10^4*(9999^2-9999)+9999
99999^3 =999970000299999            =10^5*(99999^2-99999)+99999   
999999^3 =999997000002999999            =10^6*(999999^2-999999)+999999
……
999=(27*37)=(3^3)*37
999^3=997002999
1999^3=7988005999
2999^3 =26973008999
……

awei

设久违数为x
①根据题意得出x^3≡-1（mod1000）
②因为x和1000互质，1000的欧拉函数值为400。可以根据欧拉定理得出
x^400≡1（mod1000）
由①②得
（-1）^133×x≡1（mod1000）
x≡-1（mod1000）
符合条件的最小正整数为999，第二小为1999，此题得解。

awei

陆老师疏忽了吧，久违数为末尾为999的立方数，和一个数的立方为999的意思是不同的。

风花飘飘

求整数解：

100*y=100*x^3+270*x^2+243*x-27

风花飘飘

个位为3个9的立方数的通解式：  
(10*(100*n+99)+9)^3       （n取个位不为9的整数）

个位为4个9的立方数的通解式:
(10*(1000*n+999)+9)^3       （n取个位不为9的整数）

个位为5个9的立方数的通解式:
(10*(10000*n+9999)+9)^3       （n取个位不为9的整数）

…………