至今还没有任何人解出来的世界难题——“大圆包小圆”问题

yangchuanju · 发表于 2022-5-27 06:04

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-5-27 06:06 编辑

R=100的60度扇形区域小圆（r=1）排列数表：
层数斜长高y 扇区小圆数层小圆数弦长
0 0 0 1 200
1 2 1.7321 1 6 199.9700
2 4 3.4641 2 12 199.8800
3 6 5.1962 3 18 199.7298
4 8 6.9282 4 24 199.5194
5 10 8.6603 5 30 199.2486
6 12 10.3923 6 36 198.9171
7 14 12.1244 7 42 198.5246
8 16 13.8564 8 48 198.0707
9 18 15.5885 9 54 197.5551
10 20 17.3205 10 60 196.9772
11 22 19.0526 11 66 196.3364
12 24 20.7846 12 72 195.6323
13 26 22.5167 13 78 194.8641
14 28 24.2487 14 84 194.0309
15 30 25.9808 15 90 193.1321
16 32 27.7128 16 96 192.1666
17 34 29.4449 17 102 191.1335
18 36 31.1769 18 108 190.0316
19 38 32.9090 19 114 188.8597
20 40 34.6410 20 120 187.6166
21 42 36.3731 21 126 186.3008
22 44 38.1051 22 132 184.9108
23 46 39.8372 23 138 183.4448
24 48 41.5692 24 144 181.9011
25 50 43.3013 25 150 180.2776
26 52 45.0333 26 156 178.5721
27 54 46.7654 27 162 176.7824
28 56 48.4974 28 168 174.9057
29 58 50.2295 29 174 172.9393
30 60 51.9615 30 180 170.8801
31 62 53.6936 31 186 168.7246
32 64 55.4256 32 192 166.4692
33 66 57.1577 33 198 164.1097
34 68 58.8897 34 204 161.6416
35 70 60.6218 35 210 159.0597
36 72 62.3538 36 216 156.3586
37 74 64.0859 37 222 153.5318
38 76 65.8179 38 228 150.5722
39 78 67.5500 39 234 147.4720
40 80 69.2820 40 240 144.2221
41 82 71.0141 41 246 140.8119
42 84 72.7461 42 252 137.2297
43 86 74.4782 43 258 133.4616
44 88 76.2102 44 264 129.4913
45 90 77.9423 45 270 125.2996
46 92 79.6743 46 276 120.8636
47 94 81.4064 47 282 116.1551
48 96 83.1384 48 288 111.1396
49 98 84.8705 49 294 105.7733 弓形区实排
50 100 86.6025 47 282 96.9381 47
51 102 88.3346 44 264 90.4046 44
52 104 90.0666 41 246 83.2166 41
53 106 91.7987 37 222 75.1864 38
54 108 93.5307 32 192 66.0076 33
55 110 95.2628 27 162 55.1090 26
56 112 96.9948 20 120 41.1461 19
57 114 98.7269 8 48 18.0278 8
小圆总数 —— —— —— 8887
大圆方程：x^2+y^2=100^2，x^2=100^2-y^2
第50-57层数据为弓形部分小圆数
计算的弓形部分小圆数量与实排稍有差距，究其原因是：
1、计算中把小圆视作2*1.732的小矩形处理的；
2、实排的层间各小圆错位排列，计算过程中反应不出来！

费尔马1 · 发表于 2022-5-27 07:03

大圆包小圆问题就如同正整数n内有多少个素数，n为任意正整数都有唯一解，但是总没有一个通解公式，请老师们不要多费心思啊！
再说了，数学是自然科学，总有某些奥秘不能被人们参透啊！所以，有些世界级难题还是不要去研究，若定要去研究，就挨累了！

wangyangke · 发表于 2022-5-27 07:37

本帖最后由 wangyangke 于 2022-5-27 00:19 编辑

或者说：大园的半径为一万亿的一万亿次幂，小园的半径为五千五百；小园有面积而整点没有面积呀；大园包小园个数，是整点问题吗？

傻人仍然认为是整点问题，是圆周率Π问题；
将大园半径的一万亿的一万亿次幂除以五千五百再乘以2，做为大园（相对）半径，小园半径看做1.

yangchuanju · 发表于 2022-5-27 08:50

R=5大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+12=18个
R=10大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+24+2*6=73个
R=15大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+42+3*6=187个
R=20大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+54+7*6=313个
R=30大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+84+（12+9）*6=757个
R=40大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+114+（17+14+9）=1381个
R=50大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+144+（22+19+14+7）*6=2173个
R=60大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+174+（27+24+21+14+3）*6=3145个
R=70大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+204+（32+29+26+21+14）*6=4303个
R=80大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+234+（37+34+31+26+21+12）*6=5647个
R=90大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+264+（42+39+36+31+26+21+10）*6=7171个
R=100大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+294+（47+44+41+38+33+26+19+8）*6=8887个
R=200大圆内可容纳 r=1小圆数量=1+6+...+594+（97+94+91+88+84+80+76+72+57+51+44+36+25）*6=35845个（计算值）
后部括号内为一块弓形部分所排小圆个数。

yangchuanju · 发表于 2022-5-27 08:55

大圆直径小圆总数一块弓形部分所排小圆个数（R110以后为计算值）
R=10 73 2
R=20 187 7
R=30 313 12+9
R=40 757 17+14+9
R=50 1381 22+19+14+7
R=60 2173 27+24+21+14+3
R=70 3145 32+29+26+21+14
R=80 5647 37+34+31+26+21+12
R=90 7171 42+39+36+31+26+21+10
R=100 8887 47+44+41+38+33+26+19+8
R=110 10735 52+49+46+42+37+32+26+19+1
R=120 12817 57+54+51+47+43+38+33+26+17
R=130 15079 62+59+56+52+48+44+39+33+25+15
R=140 17503 67+64+61+57+53+49+44+39+32+24+12
R=150 20107 72+69+66+62+58+54+50+45+39+32+23+6
R=160 22885 77+74+71+67+64+60+55+50+45+39+31+21
R=170 25885 82+79+76+73+69+65+61+56+51+45+38+30+19
R=180 29041 87+84+81+78+74+70+66+61+56+51+45+38+29+15
R=190 32377 92+89+86+83+79+75+71+67+62+57+51+45+37+27+10
R=200 35845 97+94+91+88+84+80+76+72+67+62+57+51+44+36+25

wangyangke · 发表于 2022-5-27 09:51

（笑话）继鲁思顺——定理：鲁思顺是个二百五！——之后，陕西雷明举重若轻，轻松证明哥德巴赫猜想

yangchuanju · 发表于 2022-5-28 19:45

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-5-29 11:44 编辑

变形问题：
问：长a、宽b的矩形容器内最多可以容纳多少个半径等于1的完整小圆？
简答：矩形面积等于a*b，当a和b都是正偶数，小圆按正方形排列时，每个小圆占据面积为4，实际可容纳a*b/4个小圆；
当小圆按正三角形排列时，每个小圆占据面积为2*√3=3.4541，表观上最多可容纳a*b/3.4541个小圆；
实际上由于在矩形的一条边处可能容不下完整的小圆，故矩形容器内可容纳的完整小圆的数量要少一些！
当a和b不是或不全是正偶数时，在矩形的两条边或一条边处，可能都有容不下完整小圆的情况，实际可容纳的完整小圆数更少一些！

问：长a、宽b、高c的方形容器内最多可以容纳多少个半径等于1的完整小圆珠？
简答：方形容器体积等于a*b*c，当a、b和c都是正偶数，且小圆珠按正方体排列时（简单立方堆积），每个小圆珠占据体积为8，实际可容纳a*b*c/8个小圆珠；
当小圆珠各层内按正三角形排列、层间按正方形排列时，每个小圆珠占据体积为4*√3=6.9082，表观上最多可容纳a*b*c/6.9082个小圆珠；
当小圆珠各层内、层间都按正三角形排列时（正四面体结构），每个小圆珠占据6个正四面体空间，体积为6*√2/12*2^3=4*√2=5.6568，表观上最多可容纳a*b*c/5.6568个小圆珠，容积率74.05%；【原帖子有误，已修正】
实际上由于在方形容器的一个面或两个面处可能容不下完整的小圆珠，故方形容器内可容纳的完整小圆珠的数量要少一些！
当a、b和c不全是正偶数时，在方形的三个面处，可能都有容不下完整小圆珠的情况，实际可容纳的完整小圆珠数更少一些！

问：半径n、高c的圆柱形容器内最多可以容纳多少个半径等于1的完整小圆珠？
简答：圆柱形容器体积等于π*n*n*c，当小圆珠按正方体排列时（简单立方堆积），每个小圆珠占据体积为8，圆柱内最多可容纳π*n*n*c/8个小圆珠；
当小圆珠各层内按正三角形排列、层间按正方形排列时，每个小圆珠占据体积为4*√3=6.9082，圆柱内最多可容纳π*n*n*c/6.9082个小圆珠；
当小圆珠各层内、层间都按正三角形排列时（正四面体结构），每个小圆珠占据6个正四面体空间，体积为6*√2/12*2^3=4*√2=5.6568，表观上最多可容纳π*n*n*c/5.6568个小圆珠，容积率74.05%；【原帖子有误，已修正】
实际上由于在圆柱型容器的一个圆周或最上面处可能容不下完整的小圆珠，故圆柱型容器内可容纳的完整小圆珠的数量要少一些！

yangchuanju · 发表于 2022-5-28 19:59

本帖最后由 yangchuanju 于 2022-5-28 20:01 编辑

正四面体的高公式？
设正四面体P-ABC，底面ABC的高为PO，各棱长为a，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC,（斜线相等,则其射影也相等），∴O是正三角形ABC的外心（重心），延长OA与BC相交于D，则AD=√3a/2，根据三角形重心的性质，AO=2AD/3=√3a/3，∵三角形PAO是直角三角形，∴根据勾股定理，PO^2=PA^2-AO^2，∴PO=√（a^2-a^2/3)= √6a/3，∴正四面体的高为√6a/3。
拓展资料：正四面体是五种正多面体中的一种，有4个正三角形的面，4个顶点，6条棱。正四面体不同于其它四种正多面体，它没有对称中心。正四面体有六个对称面，其中每一个都通过其一条棱和与这条棱相对的棱的中点。正四面体很容易由正方体得到，只要从正方体一个顶点A引三个面的对角线AB，AC，AD，并两点两点连结之即可。正四面体和一般四面体一样，根据保利克-施瓦兹定理能够用空间四边形及其对角线表示。正四面体的对偶是其自身。正四面是由四个全等的正三角形所组成的几何体。它有四个面、四个顶点、六条棱。每个二面角均为70°32’，有四个三面角，每个三面角的面角均为60°。

yangchuanju · 发表于 2022-5-28 20:04

正四面体基本性质
正四面体的棱长是其外接正方体的棱长的√2倍。
正四面体的体积是其外接正方体的体积的1/3。
正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。
正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。
正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。
正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。
正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。
正四面体的对边相互垂直。
化学中CH4,CCl4,SiH4等物质也是正四面体结构，键角是109度28分，约为109.47°。

相关数据
当正四面体的棱长为a时，一些数据如下:
高:√6a/3。中心把高分为1:3两部分。
表面积:√3a^2
体积:√2a^3/12
对棱中点的连线段的长:√2a/2
外接球半径:√6a/4，正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。
内切球半径:√6a/12，内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。
棱切球半径:√2a/4.
两条高夹角:ArcSin(1/3)
两邻面夹角:2ArcSin(√3/3)=ArcCos(1/3)≈1.23095(弧度)或70°31′43″60571，与两条高夹角在数值上互补。
侧棱与底面的夹角:ArcCos(√3/3)
正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件:
1.四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。
2.四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。
3.四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。

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