[讨论]我与BY宇易讨论不同亏格曲面上图的色数

雷明85639720

我与BY宇易讨论
不同亏格曲面上图的色数
雷  明
（二○一三年二月二十四日）
2013,2,6,我在网上听了他的关于讲解他的四色问题证明的视频后，在其下进行评论说：
我看了一次你的视频，不能作任何评论。但我觉得这样的两个钟头的视频效果不大，因为这不是一两句话能说清楚的问题，你的图也太多太复杂，图还没有看明白呢，你就讲过去了，能有什么效果呢。我建议你还是用文字写出来，让大家慢慢的看。图文是要对照着看的。反正我看了一次，没有什么印象。不知你有什么感觉。雷明
2013,2,23,我对他的文章进行评论说：
朋友，任何问题的解决不是只有一种方法的，你不能把网上的其他所有证明四色问题的方法都说成是错的，大家都是在进行讨论嘛。你在这篇文章中的最后一段话很有深思的必要。即“这里再次声明，归纳法证明不是我在《网上其他四色定理证明的错误》里提到的低级错误，低级错误是指那些试图建立着色模型的大量证明，其中绝大多数根本没有意识到自己的模型无法包含实际可能存在的地图结构，所以根本不用看它的逻辑就可以得结论：没搞清自己要解决的问题是什么，就能解决完问题的证明。归纳法证明逻辑严谨，只是避开了与证明不利的情况，多少有点故意的嫌疑，而低级错误是证明人不自知。”雷明
2013,2,24,他回复说：
首先，谢谢雷明先生的指教。
我想申辩几句。
前一篇已经提到了低级错误，所以这里必须解释，但我没说所有建立着色模型的都有问题，只是说大多数。
（接着他就去回复李子ljb先生了）
2013,2,25,他再次回复我：
这里再次感谢雷明先生给我的指点。关于亏格很大的曲面上把点分割成亏格为0的许多点集时这些分割边界上的点用与亏格为0的点需要的四色不同的逻辑值。而这些分割边界上的点可能3色不够。但不会与亏格数量有过大的关系。
这里简单说一下为什么大多数着色模型不能成立的问题：大多着色模型都是考虑这些点形成环后这些环的关系。但这里有个与事实明显的不符的情况。比如考虑和任意一个点直接相连的点构成的环。它本身并不是只是把这个点和外界分开一个环这么简单。这些点本身就可能自己形成很多封闭环，把整个地图分割成好多彼此不相连的区域。
不妨设这些点为Vi , 按顺时针排列，其中Vi和Vi-1，Vi+1相连，但Vi此时同时可以和Vi+2直接相连（很多证明里称为边）。而且Vi,Vi+1,Vi+2本身构成的环分割的每个区域内就可以有很多点。在此基础上Vi-1也可同时和Vi+2,Vi+5有边。
根据上面的例子就可以很简单的想象出和一个点有边的点会形成多复杂的情况，而任何一个着色到一半的图外界未着色的点中和已着色的点有边的点形成的复杂关系根本就无法分情况讨论清楚，要讨论清楚明确并被所有人认可不写几十页不可能，而30页以上讨论这种情况又不会有多少人看。
之所以写在这里是避免不必要的麻烦，如果单独开一篇专门写别人的错误并没有任何益处，仅给当事人提醒少走弯路，但也未必是当事人自己期望的结果。所以凡基于着色方式的方法基本都会有漏洞。而换色方法上，我自认为证明BY宇易是真正通过引理5引理6揭示了地图着色规律的基础上做的，而不是无端构建什么方法。
一来他留言要我的电子邮箱和电话，可以把他的文章发给我看看。我发给他了。当他与我通过电话后，立即就给我发来了他的对四色猜测的证明文件。我只看了一个开头后。
2013,2,23,我给张晓宇去信：
朋友，我看了一点，发现你开头提出了亏格大于0的曲面上的地图最多七种颜色就可区分是不对的。只能说亏格等于1的曲面上的地图最多七种颜色即可区分。亏格为2的完全图K（8）由于8个顶点两两间均是相邻的，所以最少得用8 种颜色才能区分。不同亏格的曲面上的地图，都在其色数是上界值的。亏格为0的曲面（平面）上的地图最多4 种颜色即可区分；亏格为1的曲面（轮胎面）上的地图最多7种颜色即可区分；亏格为2的曲面（眼镜匡面）上的地图最多8种颜色即可区分；亏格为3 的曲面上的地图最多9种颜色即了可区分；等等。再向后，还会遇到两个或两个以上连续的不同亏格的曲面上的地图的色数的上界是相同的情况。这个情况请你考虑。肯定的说，曲面的亏格不同，其上地图的色数的上界是不会相同的。亏格大的曲面上的地图的色数的上界要大些，但也有两相邻亏格的曲面上的地图的色数上界是相同的情况。只有亏格由0到1 时，其曲面上地图的色数的上界数值之差值是大于1 的。雷明
2013,2,24,我又去信：
朋友，关于不同亏格曲面上的地图的色数问题，我还想多说两句：虽然我们不知道赫渥特多阶曲面上的地图着色公式的来历，但我们可以从已经证明是正确的多阶曲面上的欧拉公式推导出赫渥特多阶曲面上的地图着色公式。这个公式是一个以曲面的亏格为变量的关于色数的函数式，代入一个亏格值，就会得到一个在该亏格下的曲面上的地图着色时的色数上界值。当把亏格0代入公式时，就会得到亏格为0的曲面上的地图着色的色数上界值是小于等于4 的。这就是四色猜测。这也就证明了四色猜测是正确的。
       朋友，最近我还要对张彧典先生在香港《新科技》杂志上发表的文章《四色猜测的数学归纳法证明》一文进行一点评论，所以就把你的文章向后推一下再看，看后一定发表看法，相互学习。
2013,2,24,他回复：
谢谢雷明先生：
我是觉得如果必须大于7色，那这句话一定是错的，“把亏格大于0的曲面分割成有公共边界的亏格为0的点集”。那么是什么样的情况呢？
证明要点，可以把这个曲面分割成一些亏格=0的许多曲面。彼此相连的部分只须换和这些亏格=0所用的四个逻辑值完全不同的三个逻辑值即可。即亏格=0的点集间的公共边界是三色带，不会与任意一个亏格=0的各个曲面产生逻辑冲突。
2013,2,24,我回复：
朋友，你的“我是觉得如果必须大于7色，那这句话一定是错的，‘把亏格大于0的曲面分割成有公共边界的亏格为0的点集’。那么是什么样的情况呢？”说得没头没尾，一点也看不明白你说的是什么意思。我觉得亏格大于0的曲面是不可能分割成亏格为0的曲面的。你那个所谓的“证明”也是不必要的。你这里为什么要取三个不同于四种颜色的逻辑值而不是取别的数目呢，理由是什么呢。“亏格=0的点集间的公共边界是三色带，不会与任意一个亏格=0的各个曲面产生逻辑冲突。”这句话又是什么意思呢。雷明
2013,2,25,他回复：
雷明先生：谢谢您！
这个问题我想明白了。应该是亏格大于2的图中如果吧它划分成亏格等于0的点集时，其公共边界可能无法用一个三色带分开。
我们把地图看成点的集合，则把这个集合分成彼此有公共边界的一些子点集。
如果亏格是0的点集四色可着色，则我们把所有的子点集都用同样的逻辑值着色。这样相互重叠的边界上可能有逻辑冲突。之后我们只需给这些重叠的边界上的点赋予与原来的4个逻辑值的点不同的逻辑值即可。如果公共边界可用其他三种与原来4个逻辑值不同的逻辑值赋值能成立的话，对任意亏格大于0的点集只需再增加三个逻辑值即可。只是亏格增大的话可能这个分割点集的公共重叠的边界会不只用3个逻辑值就行。但这个问题我还没想清楚。
但直觉告诉我当亏格很大的情况下，边界上到底需要多少个逻辑值才行是有上限的。就像我的证明里一样，在亏格等于0时，其实任意一个点影响的范围很有限（引理6和数量猜想）。所以亏格数几乎不能决定着色数量。除非能彼此直接相连的点随亏格增长而增长。
而亏格是1的曲面它不能4色着色不是因为直接有7个点能直接彼此相连，而是链环不能把整个区域分成两部分点集。
我的证明里链是指两个颜色的。而如果分割成很多子集的话这些琏一般只需三色，如果三色不成立，那最多可能只需要4色（四色是根据欧拉定理证明了5色地图成立，把5色地图上一种逻辑值的点去掉，形成的图直觉告诉我该和在亏格很大的曲面上形成的链环复杂度差不多）。所以亏格的多少和需要多少色着色的关系只是这种分割成子集的链环的复杂度有关，但毕竟是在曲面上不是在空间，所以着色的数量有限。
×××  25/02
2013,2,25,我回复：
朋友：
我没有研究过你说的这个问题，也不能评说你的理论是对还是不对。但我认为曲面就是曲面，亏格不同就是亏格不同，不能把不同亏格的曲面“转化”成平面，即亏格为0的曲面。但这与可嵌入亏格为1和2的图在平面上的表示方法完全是两回事。比如K7，K6，K5，K4，K3，K2, K1七个完全图都可以嵌入在亏格为1的轮胎面上，但K7, K6, K5却不能嵌入亏格为0 的平面上，而K4，K3，K2, K1却还可以嵌入平面上。它们在两种亏格的曲面上的嵌入都可以用平面表示方法表示出来，但不同的嵌入表示出来的图的形状则是不一样的，主要元素的数量也是不同的。比如K4在平面上嵌入的面数是4，而在轮胎面上嵌入的面数却是2。的这里我也就不画图了，你可以参考一下有关的书籍。
不同的曲面上的着色数的上界是不同的，其色数与曲面的亏格有关，可以用γ＝f（n）的函数式来表示，其中γ是亏格为n的曲面的着色数的上界值。这个函数式的具体表达式就是赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式。至与某一个图的色数具体是多少，这就要看该图的密度是多少，还要看该图中某个最大团外最多有几条可以相互构成联的不可同化道路。若图的密度是ω，某最大团外的可构成联的不可同化道路的最多条数为S（S≤ω/2）,则该图的色数一定是γ＝ω＋S。
我对四色问题的研究完全是从研究图的结构入手的，是一种纯数学的方法，不去对任何一个图进行着色的。我认为图的色数是与图的最小顶独立集数和图的最小完全同态的顶点数是相等的，明白了这一点，就可以做到不对任何图进行着色而对四色问题进行研究的。
雷明，2013,2,25,与长安
2013,2,25,他回复：
雷明先生：您好！
如果拓扑代数确实明确了着色数和亏格关系，那我的想法肯定不对！！
若图的密度是ω，某最大团外的可构成联的不可同化道路的最多条数为S（S≤ω/2）,则该图的色数一定是γ＝ω＋S。
这个结论你要说一定是γ＝ω＋S，我就不想了。
最初我想做这个题的时候就决心不看相关的书，所以相关知识几乎为0，原因是我不认为自己能在前人几十年的路上找到新的东西。所以定了个时间期限，在期限内如果能找到其内在逻辑关系就继续，找不到就放弃。但以为找到以后依然花了近一年时间。仅引理5得出结论却找不到证明方法就花了几个月。所以尽管我的证明里可能不同的人觉得有不同的新鲜思路。而自己最得意的是这个引理5证明思路很漂亮。如果我的证明被认为有问题，而引理5的结论没有任何意义，其实是最令人伤感的事。
而一旦和你们接触我发现自己就是白痴，你们的术语都是我的障碍。而且发现如果有相关知识真的有很多值得借鉴的东西。现在想来认为“没这些知识是没有定势思维有助于独立思考”是十分错误的。
所以这里我想请教您一个问题：是否能帮我对定义给出一个规范化的术语。如果我的定义用词和图论的通用定义有冲突是很尴尬的事。
你们说的顶点，边是指“点集”中的点和两个直接相连的点的连线叫边吗？这个是图论的标准术语吗？
还有我说的“链”是专指连续相连的点仅由两个种颜色构成的，就是李子L说的“双色路”，这个双色路也是通用术语吗？
最要命的是一开始我就把颜色看做逻辑值，对不同颜色的区分在图论里是否有专门的名词？哪怕在拓扑代数里。
如果这些定义用词不对，会让熟悉图论的人混乱并感觉有障碍。
再次谢谢您对我的指教。我们几乎不是探讨，是我单方面的在学习。
                      ×××  25/2
2013,2,26,我回复：
×××朋友：
    1、我不知你是学什么专业的，也不知你现在是做什么工作的。如果你不是学数学专业的，那么你说向我学习还算可以；如果你是学数学专业的，那么我就得向你学习了，因为我不是数学专业。但不管怎么样，我还是要把我想说的话要说完，我们就互相学习吧。
2、首先纠正你一句话或者是一个观点，你说“最初我想做这个题的时候就决心不看相关的书，所以相关知识几乎为0，原因是我不认为自己能在前人几十年的路上找到新的东西。”这是不对的，前人的东西不是全是错的，并且对的还要多些。我们不但要学习前人对的好的东西，而且要从前人错误或失败的教训中找出我们研究问题的实破口，这也可能就是我们的成功之路。你不能不看前人的东西，这样你可能会走很多弯路，多学习前人的东西是一个捷径。但看前人的东西要有批判的精神，吸收好的东西，抛弃错误的东西，不能认为只要是写到书上的东西就都是正确的，盲目的接受。
3、目前图论中的却存在着所用的专业术语不太统一的现象，我曾给全国图论学会理事长提出过这样的问题，希望加强图论队伍中翻译力量的建设。他的回答是：
“看了你所写的《应该加强图论研究队伍中翻译力量的建设》一文，对你文中说的有些事情我也是有同感的。特别是一些图论术语的“英译中”的方面，有些人的翻译不太恰当，还会有几个人翻译得不一致的地方。这里出现问题的原因可能不太一样，有些是数学上的意思把握不够准确，有些是英文的问题，但我想最多的可能还是中文水平的问题。
“这个问题很难解决。比如说某人要写书（中文书），或翻译书，那么他书中所用的术语的中文名称完全是由他个人决定的，只要是别人以前没有用过的名称。即使别人以前用过的，如果他不喜欢别人以前用的名称，而要另外用一个新的名称，也没有任何人能阻止他。出版社（和审稿人）是只要你在这本书内部能自圆其说，不自相矛盾就行了。而别人看到时书已出版了，要改也来不及了。”
看来你问我“是否能帮我对定义给出一个规范化的术语。”这可不是我所能办到的，关键问题是你自已一是要明白已所定义的图论术语的含义是什么，二是对自已定义的专业术语（或是以前就有过的专业术语自已重新命名）一定要说明白，叫别人能看明白它是说的什么意思。这就是理事长给我回信中说的只要你在你的文章中“能自圆其说，不自相矛盾就行了”。
4、的确,图论中对于同样的事物有不同的名称的现象存在，比如把图的“顶点数”也有叫做图的“阶”的，“边”也叫做“线”，“弧”等，这都是大家熟悉了的，一看就明白是在说什么。团是n个顶点任两两间都在边存在的分子图，记做Kn，每个图中必有至少一个顶点数最多的最大团（分子图），它的顶点数n＝ω就是图的密度。但也有把图的边数与顶点数之比的比值叫做图的“密度”的。我个人认为前者比较科学，能反映图各个图的特征，且很直观而后者不通过计算还是不知道某个图的“密度”值的。不管怎么用，只要自已在自已的文章中“能自圆其说，不自相矛盾就行了”。
“链”是用两种颜色交替着了色的道路或树，当道路闭合时，就是环链。链也有人叫做双色路或二色路也是可以的。
5、拓扑代数明确没明确“着色数和亏格关系”我不清楚，但我知道赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式就应是“着色数和亏格关系”。这也是数学界所认同的，但又只认同在亏格大于0时该公式是正确的。的确把亏格为0代入该公式中，就得到了其色数是小于等于4 的，这就是四色猜测。该公式赫渥特是怎么得来的，我不知道，我想现在的数学家们也不一定知道，因为任何文献资料中都只提及公式，并不提及是怎么和来的。可我现在可以从多阶曲面上的图的欧拉公式直接推导出该公式，所以我认为公式是适用于亏格为0 的平面图的。这是我与目前人们认识不一样的地方。
“若图的密度是ω，某最大团外的可构成联的不可同化道路的最多条数为S（S≤ω/2），则该图的色数一定是γ＝ω＋S。这个结论你要说一定是γ＝ω＋S，我就不想了。”这个结论是我用不对任何图进行着色，而只研究图着色的色数与图的最小顶独立集数和最小完全同态的顶点数，即用图论的方法证明四色猜测时得出的结论，只是我个人的看法，数学界认不认可还不知道，不存在你想不想了的问题。只能说你看了我的证明后，能不能明白我的观点，同意不同意我的观点就是了。我的观点能得到多一些人的认可，成功的机会也就可能会多一些。
6、看了你的录象觉得你不是单纯从对图的着色去对猜测进行证明，与我也就有了同感，所以我支持你好好的研究，因为你还年轻，还有很多的时间要以利用，一定能出成果。至于你现在的论文是否正确，我还没有细看，还不能在这里进行评论的。等我有时间好好的看了后，再与你进行交换意见。但我觉得你研究的方向是对头的，有成功的希望。我知道目前国内的数学界里（我不知你是不是数学界内的人士）是没有人专门研究四色问题的，他们不但不研究，而且还在阻止别人的研究，特别是对业余数学爱好者的研究他们更是反对，连专门的图论专业会议也不安排研究四色问题的人做学术论文报告。你可以看一看我的《数学界应该解放思想》一文。在研究四色问题的业余数学爱好者中，象你这样年表的人几乎是没有的，所以我认为你的潜力很大，有成功的希望。
7、你的引理5么内容，我还未看到呢，也不能评论。我看了你的回复，感到你说你对图论的知识和有关专业术语还是不甚了解的，那么这就不行了，还要对图论的有关知识进行不习，四色问题本身就是一个图论问题。你要研究四色问题，没有图论知识，不去研究图论，那怎么能行呢。另外研究四色问题，要有一个良好的心态，要不图名不图利，就是在进行科学研究。在研究的过程中，还要发现新的动向，推动图论理论的发展。能不能最终得到证明的结论都不一定是主要的东西，关链是研究过程中还能发现很多的图论理论。
雷  明  2013,2,26,
2013,2,28,他回复：
雷明先生：感谢您的回复！
我是南开大学数学系88届的毕业生，没有从事任何数学相关的工作。没学过图论。
我想问术语只是为了交流方便，以后我也可能不会从事这方面的工作。
现在我只做一件事：就是一定想办法找人给我的证明一个结论。正确错误与否都未必让我继续研究它。
因为我知道沿着我的思路已经基本到头了，如果不行，没人给钱不会返回头沿着别人的路继续研究了。
但在这段时间里很可能要和搞图论的人打交道，所以对一些问题可能要想一下或发表看法。
这个东西我搞了一年多了，没工作，不想再浪费时间了。要不老婆也不答应。呵呵，但没结果肯定是个问题。
您看的原来给的肯定费劲，原来的东西我发现有乱码。这个证明暂时不要散出去。谢谢！
我准备听人劝，赌一把，直接投稿，有人说只要是投稿，大的刊物退回的时候一定给说法。最次也会说：内容级别不够。正在改稿，给您的里面有许多废话。改完可能就10页左右。非必须的内容全部删掉了。
再次谢谢您。
                      ×××               28/2
2013,2,28,我回复：
我好好的看了你的证明后，一定给你以回复。也希你找到专家评论后给我通个信息。祝你能够成功，早传佳音。雷明

雷  明
                    二○一三年二月二十八日于长安整理
注：该文已于二○一三年三月二日在《数学中国》网上发表过。