[讨论]与杨卫华老师再商榷

雷明85639720

与杨卫华老师再商榷
雷  明
（二○一四年元月十四日）
杨老师，我还希望与你继续讨论。
从整体上看，任意图的色数是没有界的。因为图中的顶点可以是无限多的，图的密度也可以是无限大的，那么图中的最大团的顶点数也就是可以无限多的。从这个意义上说，图的色数可以说是无界的。但从个别图上看，任一个图的色数一定是确定的。或者说从密度相同的同一类图上看，图的色数又是有界的。这几个概念是不同的，不能混淆。
我从去年你对我的第一、二次回复中能看出你是理解了我的同化理论与不可同化道路理论的，但你不同意我得到的任意图着色色数的界ω≤γ≤1.5ω，因为通过米歇尔操作过程可以得到不含三角形而色数可以是任意大的图。但除了K2图和P3道路进行了一次米歇尔操作过程所得到的图仍是亏格等于0的平面图外，其它所有图进行米歇尔操作过程后得到的图都是亏格大于0的非平面图，但这种亏格大于0的非平面图却是不包括在四色问题所研究的图的范围之内的，对证明猜测是没有影响的。
把ω≤γ≤1.5ω写成γ＝ω＋S（0≤S≤ω/2，S是图中可构成联的不可同化道路的条数）。从γ＝ω＋S中看，只要能证明了在亏格为0的平面图中ω＋S不大于4，也就可以证明四色猜测是正确的。
由于平面图的密度ω都不大于4，这就有可能使我们对这四种密度的平面图从密度角度上一个个的进行分析，使一个对于密度来说是无穷的问题变成为一个有限的问题进行研究。
1、当ω＝1时，图中没有边，不可能有不可同化道路，只能是S＝0，那么其色数γ＝ω＋S＝1＋0＝1＜4；
2、当ω＝2时，图中可能有寄圈，寄圈中一定存在一条不可同化道路，即S＝1，其色数γ＝ω＋S＝2＋1＝3＜4。上面的K2图和P3道路进行了一次米歇尔操作过程所得到的图中就出现了5—圈，5—圈的密度是2，与K2图和P3道路的密度相同，而5—圈又是寄圈，其中正好有一条不可同化道路，所以5—圈的色数3比K2图和P3道路的色数2都大1。但在ω＝2的图中，S的值会不会大于1呢。当S＝2时，这2条道路的联的密度将是2×2＝4，图中将出现顶点数为4的K4团，而这里所研究的图的密度只是ω＝2，最大团只是K2团，所以密度是ω＝2的图中不可能有两条以上不可同化道路的情况存在，即有S≯2；
3、当ω＝3时，图中可能有寄轮，寄轮中也一定存在一条不可同化道路，也即S＝1，其色数γ＝ω＋S＝3＋1＝4≯4。也由于同样的原因，密度是ω＝3的图中也不可能存在两条以上不可同化道路的情况，也即有S≯2；
4、当ω＝4时，当图中只要有一条饱和道路时，且不管这条道路是不是不可同化道路，图就成了非平面图，图中就出现了交叉边，其边数就成为大于3倍的顶点数减6 了，图就不再是平面图了。所以密度是ω＝4的图中根本就不可能含有不可同化道路的，即有S＝0，其色数只能是γ＝ω＋S＝4＋0＝4≯4。
从以上分析看，任何密度的平面图的色数都是没有大于4的，这就证明了四色猜测是正确的。
以上分析是否正确，请能回复。
雷  明
二○一四年元月十四日于长安