[讨论]孪生素数猜想的证明

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孪生素数猜想的证明 (作者:江洪滨 )

江洪滨
贵州省修文县扎佐镇教师退休协会扎佐中学分会



    以下除特别说明外，我们约定：本文所说的数都是正整数；奇素数与奇合数都简称为素数与合数；数列是指无重复数的递增无穷正整数列；a、b、m、n、u、au∈N+。
    引言　我们把数列(A)：3，5，7，…中的全体数记作集合A。显然，数列(A)是一个等差数列，其通项公式要可写为an=1+2n。研究数列(A)，创立一种新的素数判定方法及给出孪生素数有无限多对的证明，就是本文的主要目的和任务。本文的主要结果是素根判别法与定理2.1。现论述如下：
    1、素根判别法的创立
    定义1.1　设集合A中的任一个奇数N=1+2n，则n=叫做奇数N的根，或简称为奇根。记作奇根n。由奇根n确定的奇数N也记作N(n)。当N是素数时，n叫做素数N的根，或简称为素根。记作素根n；当N是合数时，n叫做合数N的根，或简称为合根。记作合根n。全体奇根构成的数列：1，2，…，记作数列(b)。
    定义1.2　设奇根Cm，n=2mn+m+n，若取定m=1后，取n=1，2，…，得到数列｛C１，n｝；次取定m=2后，取n=1，2，…，得到数列｛C2，n｝；…。把上述数列中的所有数，按m=1，2，…的顺序列在一个表中，那么，这个表就叫做合根表(见表1)。合根表中的全体数记作集合C。若b是(不是)集合C中的数，则记作b∈()C。  
    表1：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 …
2 7 12 17 22 27 32 37 42 47 …
3 10 17 24 31 38 45 52 59 66 …
4 13 22 31 40 49 58 67 76 85 …
5 16 27 38 49 60 71 82 93 104 …
… … … … … … … … … … …

    依定义1.2及表1，我们即得
    定理1.1　表1中的数有下列性质：1)Cm,n=Cn,m；2)Cm,n＜Cm,n+1＜Cm,n+2；3)Cm,n＜Cm+1,n＜Cm+2,n；4)2n(n+1)=Cn,n＜Cn+1,n+1。
    定理1.2　集合C是全体合根的集合。
    证明：用反证法。假设有一个合根uC，则依定义1.1、合数及整除的定义得，2u+1=N(u)=m·n=( 2a+1)(2b+1)=2(2ab+a+b)+1(m= 2a+1,n=2b+1)。∴u=2ab+a+b。依定义1.2知，u∈C，故假设不真。∴定理成立。证毕。
    定理1.3　N(b)是合数的充要条件是b∈C。
    证明：先证必要性成立。∵N(b)是合数，∴依定义1.1、合数及整除的定义得，N(b)=a·c，其中a=2m+1，c=2n+1。又依定义1.1得，2b+1=N(b)=a·c=2(2mn+m+n)+1。∴b=2mn+m+n。依定义1.2知b∈C。故必要性成立。
    次证充分性成立。∵N(b)中的b∈C，∴依定义1.1与1.2得N(b)=2Cm,n+1=(2m+1)(2n+1)=a·c，其中a=2m+1＞1,c=2n+1＞1。∴依整除的定义知，a|N(b)。依合数的定义知，N(b)是合数。故充分性成立。证毕。
    以下除特别说明外， 我们约定：X≡a(mod m)的解：X=a+my中的变量y∈N+。若不然，则Xa(mod m)。
    依定理1.3与定义1.2，我们即得
    定理1.4　N(b)是合数的充要条件是b=n(mod 2n+1),n=1，2，…，[](当b=1，2，3时，规定n=1)有一个成立。
    定理1.5　N(a)是素数的充要条件是aC。
    证明：先证必要性成立。设N(a)是素数，则aC。用反证法。若a∈C，则依定理1.3知，N(a)是合数。这与题设相矛盾，故假设不真。∴必要性成立。
    仿上可证充分性成立。∴定理成立。证毕。
    ∵当n=[]时，依定义1.1与1.2及定理1.1知，N(Cn,n)≤N(a)＜N(Cn+1,n+1)。∴依定理1.5与定义1.2，我们就得到了一种新的素数判定方法：
    定理1.6　N(a)是素数的充要条件是an(mod 2n+1)，n=1，2，…，[](当a=1，2，3时，规定n=1)都成立。
    有了定理1.4与1.6，人们在判定一个大于1的奇数是素数还是合数时，就可从束缚我们2000多年的爱拉托斯散筛法(1)中解放出来。
    为了便于应用与记忆，上述定义与定理，我们统称为素根判别法。其应用是十分广泛的，下面的定理就是素根判别法应用的结果。
    2、定理2.1的证明
    定义2.1　设N(a1)＜N(a2)是两个素数，若N(a2)=N(a1)+2，则称N(a1)与N(a2)是一对孪生素数或孪生素数，a1与a2是一对孪生素根或孪生素根。
    定理2.1　孪生素数有无限多对。
    证明：用反证法。假设孪生素数只有有限的u对，设其中最大的一对孪生素数为N(au-1)与N(au)，则依定义2.1与假设知，au-1与au是最大的一对孪生素根。依定理1.6得，aun(mod 2n+1)，n=1，2，…，[]都成立。
    适当选取两个连续的正整数c1、c2(c1＜c2)，使i=1，2，au+cin(mod 2n+1)，n=1，2，…，[]都成立。依定理1.6知，N(au+c1)与N(au+c2)都是素数。依定义 1.1及c1与c2的连续性，得N(au+c2)=N(au+c1)+2。依定义2.1知，N(au+c1)与N(au+c2)是一对孪生素数。又由正整数c1＜c2及定义1.1，得N(au+c2)＞N(au+c1)＞N(au)，故假设不真。∴定理成立。证毕。
    这样，我们就用了作者原创的素根判别法，首开世界历史先河，简明地证明了困惑数学界一百多年的孪生素数猜想(2)。
    依定理2.1与定义2.1，我即得
    推论　孪生素根有无限多对。
    显然，仿照定理2.1的证明，可以证明N(≥3)生素数是否有无限多组(本文略)。这就是素根判别法的前瞻性。
    参考资料：
    (1)、见《数学手册编写组》编《数学手册》(人民教育出版社 1979.5)第1056页及王元《谈谈素数》(上海教育出版社，1978.12)第10页。
    (2)、见王元《谈谈素数》(上海教育出版社，1978.12)第54页。  

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