[原创]解决历史难题与推动数学科学的发展

雷明85639720

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解决历史难题与推动数学科学的发展
雷  明
（二○○八年十一月二十三日）
1、难题是在超前数学发展水平的情况下提出的
所谓的二十世纪的三大历史难题，有的说是哥德巴赫猜测想、地图四色猜测和费马大定理，有的说是哥德巴赫猜测想、地图四色猜测和多面体欧拉公式。不管那种说法，都有哥德巴赫猜想和地图四色猜测两大难题在内，可见这两个问题在人们心目中的地位了。
这两个猜想大量的事实已说明是正确的，但就是没有从理论上给以严密的数学证明，所以也就不能上升为定理。猜想是错的吗，不是，直到现在还没有找出那一个偶数不能分解成两个素的和，也没有发现那一个平面图是不能4—着色的反例，就连一百多年来大家都一直认为不能4—着色的Heawood—图也是可以4—着色的（见我的《Heawood—图的4—着色》一文）。猜想是对的吗，可一直证明不了，所以也只能仍是猜想。既然大量的事实已说明猜想是正确的，为什么又不能证明呢。笔者认为猜想的提出超前于当时数学的发展水平，所以不能给以证明。那时是没有解决这一类问题的理论和方法的，只有科学技术发展到一定水平时，出现了相应的解决此类问题的理论和方法时，自然而然就可以得到解决，猜想无论是正确还是错误，通过严密的数学证明后，总得要有一个结论。
地图四色猜测提出时，图论还没有作为一个数学分支独立出来，没有形成一门完整的科学，甚至连图的概念，平面图、非平面图的概念都没有，更不用说平面图的对偶图和的密度等其他的有关图论的概念了，所以也就无法去从数学的角度上进行严密的证明。而只能是对证明人自已所画的区划数有限的具体“地图”去进行染色，虽然都只用了不多于四种的颜色，但都不能得出任何地图染色时四种颜色就够用了的结论。所画的“地图”中的区划数再多又能有什么用呢。这样的所谓证明只能叫做验证。什么时候能得到证明呢，就只有在图论形成了一门完整的科学体系时，四色问题才可以得到解决。
哥德巴赫猜想也是一样，问题提出的那时还没有集合论这一数学分支的科学，没办法只能是对一个个的偶数，甚至是充分大的偶数去进行验证，把它们都分解成两个素数的和。虽然没有人能找出反例，即没能找到一个不能分解成两个素数的和的偶数，但却也始终没有得出任何大于等于4的偶数都是两个素的和的结论。这是因为偶数集合是一个无限集合，你不可能把所有的偶数都一一的验证完。这一问题要得到彻底解决，同样也是只有是在集合论得到发展完善之后的事。
这两个猜想只所以一个半世纪和两个半世纪一直不能被证明是正确还是不正确，原因就在于没有产生解决这两个问题的数学科学——图论和集合论。试想一下，没有方法和工具，那怎么能去解决问题呢。
多面体欧拉公式也与哥猜和四色猜测一样，在还没有产生图论的情况下，先从研究仅有的五个正多面体而得出的这一公式，也只能说算是一个经验公式，对其进行的所谓证明也只能是叫做验证而已。所以它也就再不可能推广到任意的多面体中去，而只能叫做凸多面体欧拉公式（因为正多面体属于凸多面体。也只有在图论形成了一门完整的科学体系时，从图论的观点出发，直接可以推导出任意图的欧拉公式，由于任何多面体均对应着一个图，所以也就可以得到适合于任何多面体的欧拉公式。
2、在研究难题的过程中推动了数学科学的发展
尽管猜想一个半世纪，甚至至两个半世纪没有得到证明是正确还是不正确，但人们在试图证明猜想的过程中却总结出了不少的研究方法，以至于形成独立的科学体系。
在研究哥德巴赫猜想时，人们总结出了不少的研究方法，如筛法，园法，三角法，改进后的“双筛法”，m＋n法，不但促进了数论的发展，而且也使m＋n由“9＋9”逼进到了“1＋2”，这不能不说是一个很大的进步。但这m＋n并不符合哥猜的原意，其原意就是“任何大于等于4的偶数都是两个素数的和”，而没有说任何大于等于4的偶数都是m个素数的积与另外n个素数的积的和。哥德巴赫猜想虽然还没有得到最终证明，但却大大的促进了数论的发展。
人们在研究四色猜测时，也大大的促进了图论的发展，图论中有了平面图与非平面图的区别，有了道路，树，圈，团，轮，环，平行边，孤立环，悬挂顶点，完全图，二分图，对偶图，图的密度（图论中很重要的一个概念），连通图，多分支图，顶点度，正则图，极大图等概念和图论中的各种术语用动算等。有了图论，地图也就成了图的一种，即地图是一个不连通的、有孤立环的、有平行边的、3—正则的、多分支的特殊的平面图。由于任何平面图的对偶图仍是平面图，所以地图的对偶图就是一个连通的、带有悬挂顶点的、有平行边的、极大的平面图。这样给地图中面的染色就与给平面图的面的着色有了同样的意义，所以给地图中面的染色也就变成了给地图的对偶图的顶点着色。使得图论中同样也就存在着一个“给任何平面图的顶点着色，四种颜色也够用了”的四色猜测（即平时我们所说的平面图的四色问题）。这样，一个地理问题就转化成了一个数学问题。同时，研究图顶点着色的确要比研究地图面上的染色方便多了。
四色问题虽没有得到最终解决，却也通过对其的研究，形成了一门比较完整的科学，数学科学中的一个分支——图论。图论不光是对研究四色问题有用，而且在各种领域里都是有用的。这里不一一列举了。
3、在产生了相应的科学体系之后猜想才能得到证明
集合论产生到形成一门完整的科学体系至今也不过一百年左右，而图论的产生与形成至今也只有几十年的时间。笔者认为，用这两个学科的知识来研究可德巴赫猜想和地图四色猜测是有好处的，减少了走许多的弯路。
（1）哥德巴赫猜是正确的
自然数，奇数，偶数，素数，奇素数都是无穷的可数集合，那么就可以用可数集合的一些性质对哥猜进行研究。猜想说的是任何大于等于4的偶数都是两个素数的和，我们可以反过来思考，任两个偶素数之和或任两个奇素数之和（包括某一素数自身相加在内）肯定是一个大于等于4的偶数，因为偶素数只有一个是2，2＋2＝4，最小的奇素数是3，3＋3＝6。这样我们就可以应用“有限个或可数个可数集合的并仍是可数集合”的定理了。把奇素数集合中的任何一个元素都和其他元素（包括它自身）相加一次，就得到可数个可数集合，这些可数集合的并集仍是可数集合，该并集里的所有无素却都是偶数，且都大于等于6。现在只要证明这个并集与所有大于等于6的偶数集合是同一个集合，就能说明任何大于等于6的偶数都是两个奇素数的和，而偶数4本身就是两个偶素数2的和，所以也就有任何大于等于4的偶数都是两个素数的和。这也就能证得猜想是正确的。否则，那个并集与所有大于等于6的偶数集合不是同一个集合时，猜想就不正确。笔者的证明认为以上两个集合是同一个集合，所以认为猜想是正确的。关于猜想的证明，请见笔者的《集论法证明哥德巴赫猜想》一文。
（2）四色猜测也是正确的
用图论方法研四色问题时，不要一下子就涉及到平面图中去，而要着手任意图顶点的着色，且不要去对某个具体的图进行着色，而只要研究图顶点着色与图的密度的关系，最后再把这一关系代入到平面图中去就行了。这是因为平面图只是图这个无穷集合中的一个子集合，且也是无穷集合。如果还用对具体的平面图进行着色方法，这就与以前用染色的方法证明一样，所画地图中的区划数再多，同样也是无法验证所有平面图顶点着色时是否四种颜色都能够用。不染色怎么办呢，首先要确定任意图顶点着色与顶点同化的关系。同化即是不相邻的顶点可以（注意，只是可以，不是一定要）凝结为一个顶点，而着色则是不相邻的顶点可以（也要注意，只是可以，不是一定要）着上同一颜色。任何图的色数就是该图同化时的最小完全同态的顶点数。图同化时得到最小完全同态后，就再也不能继续同化了，该同态有几个顶点，着色时就得用几种颜色。由于该同态的各个顶点都是代表着若干个不相邻的顶点，所以把其连同已着的颜色返回到原图时，这个图的着色就完成了，且保证了相邻顶点没有用同一颜色。现在的关键是求出任意图的最小完全同态的顶点数与什么有关。可以证明，图同化时的最小完全同态与图的密度之间有定量的关系，而与图中的顶点的多少无关。这一关系就是任意图的色数与图的密度的定量关系。把平面图的密度不大于4的特点代进以上关系中去，一个个的验证（注意，这里只是验证平面图有限的四种密度，而不是所有的平面图），看一看在各种密度下的平面图的色数是否小于等于4，如果是，则猜测正确，否则，猜测错误。笔都通过证明认为平面图的四色猜测是正确的。平面图的四色问题得到证明，地图四色猜测也就得到了证明，因为地图的对偶图也是平面图。关于四色猜测的证明请见笔者的《图论法证明四色猜测》一文。有了任意图的最小完全同态与图的密度的关系不但可以证明四色猜测是正确的，而且也能求出线图和全图的色数（见笔者的《任何图的任何着色都可归结为给其图值函数的顶点着色》一文）。
（3）用图论可以推导出适全于任何多面体的欧拉公式
有了图论，可以用等差数列的通项公式求得极大图的边和顶点的关系为e=3v-6和面和顶点的关系为f=2v-4，二者之差就得到e-f=v-2，即v+f=e+2，这就是极大图的欧拉公式，而且此式也适合于任意的连通图。由此还可以推导出有n个分支的非连通的多分支图的欧拉公式v+f=e+n+1。由于任何一个多面体均对应着一个图，所以也就有简单多面体（包括凸多面体和凹多面体）的欧拉公式V＋F＝E＋2和组合多面体的欧拉公式V＋F＝E＋n＋1（其中n是组合多面体的组合部分数）。由于一个多面体是一个整体，两个组合部分之间表现出来的是一个环形面（即有两条封闭边界的面），所以上式又可写成V＋F＝E＋Φ＋2（其中Φ是组合多面体中的环形面数）。多面体还有一种形式，就是管状多面体，这种多面体的特征是其中有孔洞穿过，且在洞口处也有环形面形成，有几个孔洞，多面体的亏格就是几，所以又有管状多面体的欧拉公式Ｖ＋Ｆ＋２Ｅ＋Φ＋２（其中N是管状多面体的穿过孔洞数，即亏格）。该式中如果Ｎ＝0时，即没有孔洞穿过多面体，就是组合从面体（Φ≠0），再当Φ＝0时，即也没有环形面，就是简单多面体。由于以上的多面体对应的图都是平面图，所以Ｖ＋Ｆ＋２Ｎ＝Ｅ＋Φ＋２也是适合于任何对应图是平面图的多面体的欧拉公式。

还有一种多面体（如图中的匡形多面体，实际上这也是一种管状体，只是其中没有环形面出现，即Φ＝0），其顶点，边和面间的关系也同样适用于Ｖ＋Ｆ＋２Ｎ＝Ｅ＋Φ＋２式。因为这种多面体对应图是非平面图，所以这个公式就是适合于任意多面体的欧拉公式，即多面体万能公式。
我们这里得到的欧拉公式是不需要证明的，因为它是经过严密的数学推导而得到的。关于任意多面体的欧拉公式的推导请见我的《多面体欧拉公式的拓宽》一文。
从多面体对应图的物性上，还可以把多面体分为：简单多面体和复杂多面体，连通多面体和不连通多面体，平面型多面体和非平面多面体，组合多面体和非组合多面体，管状体和非管状体，连通管体和不连通管体。
以上意见只是自已的一点看法，如有不对之处，请网友们，难题爱好者们，数学专家，数学史学家给以批评指正。

雷  明
二○○八年十一月二十三日于长安潏水湾
   
   

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