[讨论]陈氏定理（摘自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）

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陈氏定理（摘自《哥德巴赫猜想与潘承洞》）

陈氏定理是中国数学家陈景润于1966年发表，1973年公布详细证明方法。这个定理证明任何一个足够大的偶数都可以表示成一个素数和一个半素数的和，也就是我们通常所说的“1＋2”。

1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4的偶数都能表示为两个奇质数之和？如6=3+3，14=3+11等。第二，是否每个大于7的奇数都能表示3个奇质数之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。这就是著名的哥德巴赫猜想。

实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于 7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。但是第一个问题至今仍未解决。由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。1920年挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c是常数。1956年中国数学家王元证明了“3+4”，随后又证明了“3+3”，“2+3”。60年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。1966年，我国著名数学家陈景润攻克了“1＋2”，也就是：“任何一个足够大的偶数，都可以表示成两个数之和，而这两个数中的一个就是奇质数，另一个则是两个奇质数的和。”这个定理被世界数学界称为“陈氏定理”。

由于陈景润的贡献，人类距离哥德巴赫猜想的最后结果“1＋1”仅有一步之遥了。但为了实现这最后的一步，也许还要历经一个漫长的探索过程。有许多数学家认为，要想证明“1＋1”，必须通过创造新的数学方法，以往的路很可能都是走不通的。

当年徐迟的一篇报告文学，中国人知道了陈景润和哥德巴赫猜想。

那么，什么是哥德巴赫猜想呢？

哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，提出了以下的猜想:

(a)任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰。世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解。

到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的偶数都可以表示为（99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想。

目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理：“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2”的形式。

在陈景润之前，关于偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:

1920年，挪威的布朗证明了‘“9 + 9”。
1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。
1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。
1937年，意大利的蕾西先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15”和“2 + 366”。
1938年，苏联的布赫夕太勃证明了“5 + 5”。
1940年，苏联的布赫夕太勃证明了“4 + 4”。
1948年，匈牙利的瑞尼证明了“1 + c”，其中c是一很大的自然数。
1956年，中国的王元证明了“3 + 4”。
1957年，中国的王元先后证明了 “3 + 3”和“2 + 3”。
1962年，中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩证明了“1 + 5”，
1962年，中国的王元证明了“1 + 4”。
1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉多夫，及意大利的朋比利证明了“1 + 3 ”。
1966年，中国的陈景润证明了 “1 + 2 ”。

从1920年布朗证明"9＋9"到1966年陈景润攻下“1＋2”，历经46年。自"陈氏定理"诞生至今的30多年里，人们对哥德巴赫猜想猜想的进一步研究，均劳而无功。

布朗筛法的思路是这样的：即任一偶数(自然数)可以写为2n，这里n是一个自然数，2n可以表示为n个不同形式的一对自然数之和： 2n=1+(2n-1)=2+(2n-2)=3+(2n-3)=…=n+n 在筛去不适合哥德巴赫猜想结论的所有那些自然数对之后(例如1和2n-1;2i和(2n-2i),i=1，2,…;3j和(2n-3j)，j=2,3,…;等等)，如果能够证明至少还有一对自然数未被筛去，例如记其中的一对为p1和p2，那么p1和p2都是素数，即得n=p1+p2，这样哥德巴赫猜想就被证明了。前一部分的叙述是很自然的想法。关键就是要证明';至少还有一对自然数未被筛去';。目前世界上谁都未能对这一部分加以证明。要能证明，这个猜想也就解决了。

然而，因大偶数n（不小于6）等于其对应的奇数数列（首为3，尾为n-3）首尾挨次搭配相加的奇数之和。故根据该奇数之和以相关类型质数+质数（1+1）或质数+合数（1+2）（含合数+质数2+1或合数+合数2+2）（注：1+2 或 2+1 同属质数+合数类型）在参与无限次的"类别组合"时，所有可发生的种种有关联系即1+1或1+2完全一致的出现，1+1与1+2的交叉出现（不完全一致的出现），同2+1或2+2的"完全一致"，2+1与2+2的"不完全一致"等情况的排列组合所形成的各有关联系，就可导出的"类别组合"为1+1，1+1与1+2和2+2，1+1与1+2，1+2与2+2，1+1与2+2，1+2等六种方式。因为其中的1+2与2+2，1+2 两种"类别组合"方式不含1+1。所以1+1没有覆盖所有可形成的"类别组合"方式，即其存在是有交替的，至此，若可将1+2与2+2，以及1+2两种方式的存在排除，则1+1得证，反之，则1+1不成立得证。然而事实却是：1+2 与2+2，以及1+2（或至少有一种）是陈氏定理中（任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数的和，或一个素数与两个素数乘积的和），所揭示的某些规律（如1+2的存在而同时有1+1缺失的情况）存在的基础根据。所以1+2与2+2，以及1+2（或至少有一种）"类别组合"方式是确定的，客观的，也即是不可排除的。所以1+1成立是不可能的。这就彻底论证了布朗筛法不能证"1+1"。

由于素数本身的分布呈现无序性的变化，素数对的变化同偶数值的增长二者之间不存在简单正比例关系，偶数值增大时素数对值忽高忽低。能通过数学关系式把素数对的变化同偶数的变化联系起来吗？不能！偶数值与其素数对值之间的关系没有数量规律可循。二百多年来，人们的努力证明了这一点，最后选择放弃，另找途径。于是出现了用别的方法来证明哥德巴赫猜想的人们，他们的努力，只使数学的某些领域得到进步，而对哥德巴赫猜想证明没有一点作用。

哥德巴赫猜想本质是一个偶数与其素数对关系，表达一个偶数与其素数对关系的数学表达式，是不存在的。它可以从实践上证实，但逻辑上无法解决个别偶数与全部偶数的矛盾。个别如何等于一般呢？个别和一般在质上同一，量上对立。矛盾永远存在。哥德巴赫猜想是永远无法从理论上，逻辑上证明的数学结论。

“用当代语言来叙述，哥德巴赫猜想有两个内容，第一部分叫做奇数的猜想，第二部分叫做偶数的猜想。奇数的猜想指出，任何一个大于等于7的奇数都是三个素数的和。偶数的猜想是说，大于等于4的偶数一定是两个素数的和。”

shihuarong1

      我的“Goldbach猜想的证明”（见“哥猜证明圆满破解”一文）就完全、彻底的解决了这个问题。不用再“猜”了。

wangyangke

论坛没有靠得住的哥猜证明，确有一些靠得住的二百五，，，鲁思顺是二百五中的突出代表，，，

cuikun-186

每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和
崔坤
中国青岛即墨，266200，E-mail:cwkzq@126.com
摘要: 数学家刘建亚在《哥德巴赫猜想与潘承洞》中说：“我们可以把这个问题反过来思考, 已知奇数N可以表成三个素数之和， 假如又能证明这三个素数中有一个非常小，譬如说第一个素数可以总取3， 那么我们也就证明了偶数的哥德巴赫猜想。”， 直到2013年才有秘鲁数学家哈罗德贺欧夫格特彻底证明了三素数定理。
关键词:三素数定理，奇素数，加法交换律结合律
中图分类号：O156 文献标识码： A
证明：
根据2013年秘鲁数学家哈罗德·贺欧夫格特已经彻底地证明了的三素数定理：
每个大于等于9的奇数都是三个奇素数之和，每个奇素数都可以重复使用。
它用下列公式表示：Q是每个≥9的奇数，奇素数：q1≥3，q2≥3，q3≥3，
则Q=q1+q2+q3
根据加法交换律结合律，不妨设：q1≥q2≥q3≥3，
则Q-3=q1+q2+q3-3 显见：有且仅有q3=3时，Q-3=q1+q2，否则，奇数9，11，13都是三素数定理的反例。
即每个大于等于6的偶数都是两个奇素数之和
推论Q=3+q1+q2，即每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和。
我们运用数学归纳法做如下证明：
给出首项为9，公差为2的等差数列：Qn=7+2n：{9,11,13,15,17,.....}
Q1= 9
Q2= 11
Q3= 13
Q4= 15
.......
Qn=7+2n=3+q1+q2,(其中奇素数q1≥q2≥3，奇数Qn≥9，n为正整数）
数学归纳法：
第一步：当n=1时 ，Q1=9 时 ，Q1=9=3+q1+q2=3+3+3成立
第二步：假设 ：n=k时，Qk=3+qk1+qk2成立,（奇素数：qk1≥3，qk2≥3）
第三步：当n=k+1时,Q（k+1）=Qk+2=3+qk1+qk2+2,
此时有且仅有2种情况：
A情况:qk1+2不为素数或者qk2+2不为素数时，Qk+2=Q（k+1）=5+qk1+qk2
即每个大于等于11的奇数都是5+两个奇素数之和，
这也就同步证明了每个大于等于6的偶数都是两个奇素数之和

即与“每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和”是等价的
即Qk+2=3+qk1+qk2+2=5+qk1+qk2=3+qk3+qk4，（奇素数：qk3≥3，qk4≥3）
B情况:
(1)若qk1+2为qk1的孪生素数P,
则：Qk+2=3+P+qk2,即每个大于等于11的奇数都是3+两个奇素数之和
(2) 若qk2+2为qk2的孪生素数P”,
则：Qk+2=3+P”+qk1，即每个大于等于11的奇数都是3+两个奇素数之和
综上所述，对于任意正整数n命题均成立，即：每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和
结论：每个大于等于9的奇数都是3+两个奇素数之和，Q=3+q1+q2，（奇素数q1≥q2≥3，奇数Q≥9）


参考文献：
[1] Major Arcs for Goldbach's Theorem. Arxiv [Reference date 2013-12-18]
[2] Minor arcs for Goldbach's problem．Arxiv [Reference date 2013-12-18]