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哥德巴赫猜想与素数定理的初等证明三
前言
历史的进程是有其自身规律的。自从欧几里得用极其朴素的语言证明了素数有无穷多个以后，高斯就开始琢磨着有了前一个素数p以后接下来的下一个素数q与p的距离是多少呢？他经过了艰辛的计算，开始发现它基本上总是在lnp附近，于是他得到了π(x)的基本估计式：
π(x)≈li(x)
这就是著名的高斯对数积分公式。在另一个战场欧拉通过研究发现自然数的倒数和与算术基本定理有着某种联系，于是得到了：
∞
Σ1/n^δ=Π1-(1/p^-δ） （δ>1)
n=1 p
著名的欧拉公式，用分析法得到了素数有无穷多个。
黎曼接过了欧拉的研究方法用复数s替代了实数δ，得到了黎曼ζ函数ζ(s),达到了较好的结果。阿达玛想证明高斯的估计式，在当时来说是一个十分困难的问题，因为证明猜想要比发现猜想困难得多。他创造了一 大堆与证明有关的函数，利用黎曼ζ(s)函数，把解析方法发挥到了极至，经过千辛万苦终于证明了素数定理。
素数定理证明了，那么哥德巴赫猜想怎么办？这个任务落到了布朗的肩膀上，他想出了一个较弱的方法，先解决一个偶数是两个奇数之和，再慢慢减少这些奇数的素因子，如果将素因子减少到了一个，那么这个猜想也就证明了，所以这是一种无为中的作为。这事经过了他自己和许多数学家的艰辛努力，最后有陈景润几乎搭上了自己的生命，用极其艰辛的工作走到了布朗筛法和解析方法的顶点使一个奇数变成了素数，另一个奇数变成了两个素数的乘积。以后又有许多数学家想改进陈景润的方法，把两个奇数都变成素数。因为命题1+b与θ的值有关，一般说来θ做得越大，b就越小，但一般不能超过1/2，1965年有人将θ取到了1/2，但是他连1+2都没有证明，所以人们只好抛弃了布朗筛法。
抛弃了布朗筛法以后，我们怎么办？
我们必须按照严格的要求挖掘出素数在自然数中分布的规律，在哥德巴赫猜想与素数定理的初等证明二的素数定理A中我们得到了一个十分有用且非常一般的一个公式，从这个公式中我们将导出许多其他的公式。我们只要从所有素数中选出那些叫做哥德巴赫素数q使偶数x,x-q都是素数，这样的素数是能够用筛法来得到的。还要将这些素数在偶数x中的个数之间建立一定的函数关系。
（一）
定理一
limlnπ(x)=lnx
x→∞
证：
由素数定理A中π(x)=x^s,lims=1，其中s=lnπ(x)/lnx,故得定理。
x→∞
证毕。
定理二
limln(x/π(x))/lnlnx=1
x→∞
证：
由素数定理B，limA=1，其中A=ln(x/π(x))/lnlnx,故limln(x/π(x))
x→∞ x→∞
=lnlnx,limln(x/π(x))=lnlnx+o(lnlnx),故得定理.
x→∞
证毕。
（二）
哥德巴赫猜想的证明
前言
要使哥德巴赫猜想成立，我们必须要选出这样的素数p,使得x-p一定也是素数。这样的素数p,我们只要知道了偶数x就一定能够算得出来。哥德巴赫猜想是哥德巴赫提出来的，他早就知道任意偶数x一定能够表示成两个素数之和。要使猜想成立的定理随便说说都有，但是要使猜想成立是要证明的，没有证明的定理是无效的。我们至少要证明存在一个函数F(x)≤D(x),直到x趋向无穷，而且对于任意的x,D(x)的性状都能有一个明确的解释。我在这里解决了比哥德巴赫猜想更一般更广泛的问题，这些证明出乎人们的意料,因为它证明了
limlnπj(x),lnx竟然是同阶的函数，limln(x/πj(x)),lnlnx也竟然是同阶的函数，虽然在x
x→∞ x→∞
较小时它们的差非常大。从这里我们可以看到对数函数对这些问题的解决起到了何等重要的作用，那是因为对数函数中隐藏着十分优秀的性能，它们的阶象自然数本身一样从-∞到∞.
（1）
不小于6的偶数都可表为两个奇素数之和A
πj(x)=x^s,lim s=1
x→∞
证：
k
命mk=Πpk,在所有不大于mk的自然数中筛去所有不大于pk的k个素数和它们的合数后的
1
剩余数就是φ(mk),从所有不大于mk的自然数中筛去x≡bkj (mod pk),0≤bkj≤(pk)-1, k=1,2,3,...,因为pk的同余有0,1,2,...,pk-1,我们只取其中的j个,其同余形式用p(j)来表示 ，当p(j)中的pk≤j时，则j≤pk-1,这样筛剩后的剩余数用φj(mk)表示，
k
则φj(mk)=Π(pk)-j,它与p(j)的取法无关，但在x≠mk时，它与p(j)的取法有
1
关，p(j)不同x中的剩余数就不同。我们选定p(j), 使筛剩后的数都是这样的数a,a不≡bkj (modpk) ,再在不大于pk的自然数中保留这些数a，表这些数a的个数为πj(pk),我们将πj(pk)+φj(mk)表为φπj(mk)，再将φπj(mk)分成πj(x)和 Δφπj(mk)两部分：即φπj(mk)=πj(x)+Δφπj(mk)，其中πj(x)中的数a都是素数,但Δφπj(mk)中的数a就不一定是素数。因为s趋向1时先必经过 πj(x)再经过Δφπj(mk)，命πj(x)=x^s0,则lim s0=lim s=1.
x→∞ mk→∞
所以不管j有多大，只要j是常数，对于任意的s0<1必存在一个x使πj(x)>x^s0成立, 而limx^s0=∞. x→∞
对于哥德巴赫偶数猜想来说，就是取p(j)=2.命x为任意不小于6的偶数，D(x)表x是两个素数之和的解数个数,则D(x）=x^s,lim s=1.
x→∞
证毕。
对于孪生素数对数H(x)也是取p(j)=2.H(x)=x^s,lim s=1.
x→∞
(2)
不小于6的偶数都可表为两个奇素数之和B
先证
πj(x)=x/lnx^A,lim A=j
x→∞
证：
因为πj(x)=x^s,lim s=1可知πj(x)可表为x/lnx^A.
由x/πj(x)可表为（x/π(x))(π(x)/π2(x))(π2(x)/π3(x))...(πj-1(x)/πj(x)).
mk/φj(mk)可表为(mk/φ1(mk))(φ1(mk)/φ2(mk))(φ2(mk)/φ3(mk))...(φj-1(mk)/φj(mk)).
命k≤j,则（φk(mk)/φk+1(mk))=(φk-1(mk)/φk(mk))-o(φk-1(mk)/φk(mk)),由此可知limln(φk(mk)/φk+1(mk))= mk→∞
ln(mk/φj(mk)),也有此可知limln(πk(x)/πk+1(x))=ln(x/π(x))=lnx,limln(x/πj(x))=
x→∞
(lnx)^j,所以lim A=j.
x→∞
对于哥德巴赫偶数猜想来说，limln(x/D(x))=(lnx)^2.
x→∞
证毕。
(3)
用哥德巴赫猜想与素数定理的初等证明三中定理一的方法同样可以证明limlnD(x)
x→∞
=lnx.
作者施承忠 2008.3.30
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发表于 2008-3-30 11:29
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