[原创]集论法证明哥德巴赫猜想中的一个关键性集合

雷明85639720

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集论法证明哥德巴赫猜想
中的一个关键性集合
雷明
（二○○九年三月五日）
    哥德巴赫猜想原意是说任何一个大于等于4的偶数都是两个素数的和。除去最明鲜的4是唯一的偶素数2自身相加的结果外，猜想就应该说是任何一个大于等于6的偶数都是两个奇素数的和。现在我们反向进行思维，把可数的奇素数集合中的任何一个奇素数（元素）都和其他所有的奇素数（元素）相加一次（包括它自身相加的一次在内）就可得到可数个可数集合，这些可数集合的并集仍是可数集合，并与自然数集合等势，其中的全部元素都是大于等于6的偶数。这个集合是不是就是所有大于等于6的集合，我认为是。我是这样证明的（这时我们令这个并集为A）：
由于由所有大于等于6的偶数所构成的可数的无穷集合B也与自然数集合N等势（B～N）的，根据集合的传递性，有A也等势与B，即A～B，即A与B有一一对应的关系，也就是说A与B的元素个数相同或A与B的元素一样多。可以肯定，A中的元素一定都是属于B的，即B包含A，也即A是B的子集合。
大于等于6的偶数与自然数一样，也是有无穷多个。A与B中的那无穷多个元素，也都分别是大于等于6的偶数，加上集合中元素的不重复性（即不存在两个以上相同的元素），所以，A只有是包含了所有大于等于6的偶数时，才能使“A与B的元素个数相同或A与B的元素一样多”。
B中的所有大于等于6的偶数有无穷多个，A中的大于等于6的偶数也有无穷多个，所以无论在A中还是在B中，其元系（大于等于6的偶数）都应该是一样多的，它他的一一对应就是两集合中相等数值的偶数可以互相配对。
A与B是同一个集合的证明：
（1）采用A与B中的元素相互配对的证明（反证法）：
假如A中没有完全包含所有大于等于6的偶数，则把A和B中相同数值的元素进行配对时，B中就必然有剩余下来的元素，A与B就不可能等势，这与上面所得到的A～B是矛盾的，应该否定假设，A中应该是包含了所有大于等于6的偶数。
（2）采用A中元素排队的办法证明（反证法）：
根据定理：集合X为可数集合的充分与必要条件是可以把X的元素按一定的法则f连续的编号为：
A＝｛x1，x2，……xn，……｝。
这就使集合X中的元素与自然数集合中的元素有了一一对应的关系。既然上面得到的并集A是可数集合，那么它一定也能够按某一法则f连续的把其中的元素进行编号，与自然数集合建立一一对应的关系。如果上面得到的那个并集A是所有大于等于6的偶数集合，则这个法则就是
         f：    an＝f（n）＝4＋2n   （n≥1，n是自然数）
如果A 不是所有大于等于6的偶数的集合，则其中必然缺少某个大于等于6的偶数。如果A中的元素在排队中，在第n项后缺少一个偶数an＋1（＝4＋2（n＋1）），这时，集合A与自然数的一一对应关系f将分成两个：即
     f1：   an＝f（n）＝4＋2n   （1≤n＜n＋1，n是自然数）
     f2：   an＝f（n）＝6＋2n   （n≥n＋1，n是自然数）
这时集合A也就分成了两个子集合A1和A2，A1与自然数的一一对应关系是f1，A2与自然数的一一对应关系是f2。在子集合A1与自然数的一一对应关系及A是所有大于等于6的偶数集合时A与自然数的一一对应关系是完全相同的，都是f：an＝f（n）＝4＋2n（1≤1，n是自然数），又由于A1中的n可以取自然数的任何数，所以A1与自然数集合N也有一一对应的关系，A1中也就包含所有的大于等于6的偶数。因此A的子集合A1就是集合A本身，A1也是一个可数集合，且是包含所有的大于等于6的偶数的集合。这就说明了“A与B的元素个数相同或A与B的元素一样多”，说明了B中的元素也一定都是属于A的，即A包含B，也即B是A的子集合。
    因为前边有：A中的元素一定都是属于B的，即B包含A，也即A是B的子集合（已知）；
现在这里又有：B中的元素也一定都是属于A的，即A包含B，也即B是A的子集合；
因为两个集合相等或者是同一个集合的充要条件是：两个集合互为子集合，也即两个合互相包含。所以就有集合A与集合B是同一个集合或者两个集合相等，即A＝B。两集合相等就说明两集合中的元素全部相同。到此，就证明了A中是包含了所有大于等6的偶数。到此也就证明了上面得到的并集A也是所有大于等于6的偶数的集合。
有了A＝B，就说明了A也是所有大于等于6的偶数的集合。这就证明了所有大于等于6的偶数集合中的任何一个元素（偶数）都是两个奇素数的和。加上偶数4是唯一的偶素数2自身相加的结果，所以就有任何大于等于4的偶数都是两个素的和的结论。
                        

                              雷    明
二○○九年三月五日于陕西长安