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一些数学家为何在《歌德巴赫猜想》问题上铩羽而归
任意一个大于6的偶数M，都能分成两个素数吗？这个问题的证明即是“著名的”《歌德巴赫猜想》。
把偶数M拆分成两个整数，可用x与(M-x)的模式表达，也可用A-x与A+ x的模式来表达（A=M/2）。我认为正是数学家们都采用了x与(M-x)模式，通常在随意选定一个素数x后，再来分析(M-x)的表达形式。而对于M-x,在偶数M比较大时的复杂性及确定素数X值的随意性，于是有了所谓的“1+9、1+8、……、1+2”等关于《歌德巴赫猜想》问题的数论论述。这些方法，无一例外的把偶数所分成的两个数分别的对待进行讨论了。这就是悲剧产生的主要原因。当然这些讨论对数论学的发展，不是我所能够理解的。我只是对一个偶数分成两个素数的客观情况——一个并不复杂的数学问题却被神化到如此地步所感叹而已。
再看看在A-x与A+ x的模式：在这个模式中，显示了偶数M分成的两个整数的一个重要的特点，即它们与M的一半值A 的差的绝对值相等。因而偶数M所分成的两个整数A-x与A+ x 是否是素数的问题可归结于：
1、变量x什么条件时可使A-x与A+ x同为素数；
2、x在取值范围内使A-x与A+ x同为素数的数量S(m)的大小及其有何规律性——从而达到分析、回答哥猜问题的目的。
素数的定义：不能被除了1与自身外的自然数整除的数。为减少判断素数时的除数数目，可用Eratosthenes筛法（简称埃氏筛法）：N不能被小于或等于根号N的所有素数整除时就是素数。这是判断素数的通用常识。
对“偶数M分成两个大于2的整数A-x与A+ x”，对应的x取值区间[3，A-3]，用其中最大整数M-3的“埃氏”筛法来判断，即用小于√(M-2)的所有素数2，3，…，n，…，r （r为其中最大的素数，下均同）来对A-x与A+ x 作判断：
a、若x能使分成的两个整数A-x与A+ x都不能被小于根号(M-2)的所有素数整除时，两个数都是素数；
b、若分成的两个整数中的A+ x不能被 小于根号(M-2)的所有素数整除，而A-x能被某个素数整除但商为1时，两个数也都是素数。
若把偶数M的符合a条件的分法数记为S1(m)，符合b条件的分法数记为S2(m)，以上述的两点即可得到偶数M分成两个素数的全部分法数量S(m)，有：S(m)=S1(m)+S2(m)； {式1}
把偶数M分成两个大于2的整数分别记为A-x与A+ x后，条件a 即可看成变量x符合某种由A的数值所决定的数，其在区间[0，A-3] 中的分布规律，可作为一个概率事件来研究。
在自然数列 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，…… ；中
除以素数2，3，…，n，…，r时余数能满足不等于2i、3i、…、ni、…、ri的数的发生概率，分别为1/2、1/3、……、1/n、……、1/r。由于自然数列里的数在除以任意二个素数j，k时，余数同时满足等于ji、ki [ji=0,1, …，j-1；ki=0,1, …，k-1] 的概率 ，有： P(j*k)=P(j)*P(k)=(1/j)(1/k)，每连续的j*k 个自然数中必有一个。我们称事件j与k为互相独立。由概率的独立事件性质可知,这个概念可推广到任意有限多个事件上去。
回到上述的条件a上：把A除以小于根号(M-2)的所有素数2，3，…，n，…，r时的余数分别记作I2,I3,…,In,…，Ir，那么当x除以这些素数时的余数能同时满足不等于I2、I3及(3－I3)、…、In及(n－In)、…、Ir及(r -Ir)时，x使A-x与A+ x同时满足条件1而成为素数，而这样的x值在 [0，A-3]中的发生概率,依据概率的独立事件性质，可用P(m)来表达,有
P(m)=P(2•3•…•n•…•r)
=P(2)• (3)•…•(n)•…•(r)
=(1/2)•f(3)•…•f(n)•…•f(r)； {式2}
式中：3≤ n≤r；f(n)=(n-1)/n, [In=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [In>0时]。下同。
因此这样的x值在 [0，A-3]中的发生数量S1(m)，可通过计算近似得出。偶数M的分成两个符合条件a的素数的近似分法数量Sp(m)，有
Sp(m)=(A-2)×P(m)= (A-2)×(1/2)×f(3)×…×f(n)×…×f(r)； {式3}
我不知道那些数学家是否认可概率的独立事件的乘法法则在此的运用，他们的观点是否与现有的这一数学原理矛盾，我只知道，按照概率的独立事件的乘法法则得到的大多数偶数的概率计算值Sp(m)与实际数值S1(m)之间，是很接近的。
为进一步对概率计算的结果作个评价，有必要对概率计算的相对误差δ(m) 进行讨论。
δ(m)—概率计算值Sp(m)与实际值S1(m)的相对误差。
δ(m) =[Sp(m)－S1(m)]/ S1(m) {式4}
由式4 可以得到： S1(m)=Sp(m)/ [1+δ(m)]； {式5}
部分偶数区间的偶数的概率计算值的相对误差 E(m)分区分布情况实录：
[相对误差δ(m)因为希腊字母在QBASIC 程序中不好表示，改用E(m)代替，下同]
偶数6-2000
E(m): <-.4 [-.4,-.3)[-.3,-.2)[-.2,-.1])[-.1,.1] (.1，.2] (.2，.3] (.3，.4] >.4
------------------------------------------------------------------------------------------------
[ 6 , 100 ] 1 2 4 7 20 7 2 4 1
[ 102 , 200 ] 0 0 0 11 28 6 3 1 1
[ 202 , 300 ] 0 0 2 9 32 5 1 1 0
[ 302 , 400 ] 0 0 2 13 27 6 1 1 0
[ 402 , 500 ] 0 0 0 15 32 3 0 0 0
[ 502 , 600 ] 0 0 5 6 36 1 2 0 0
[ 602 , 700 ] 0 0 3 7 35 2 2 1 0
[ 702 , 800 ] 0 0 1 6 37 5 1 0 0
[ 802 , 900 ] 0 0 0 6 41 3 0 0 0
[ 902 , 1000 ] 0 0 0 10 38 1 1 0 0
[ 1002 , 1100 ] 0 0 0 11 37 1 1 0 0
[ 1102 , 1200 ] 0 0 1 9 37 2 1 0 0
[ 1202 , 1300 ] 0 0 1 4 42 2 1 0 0
[ 1302 , 1400 ] 0 0 0 6 42 2 0 0 0
[ 1402 , 1500 ] 0 0 0 6 38 5 0 1 0
[ 1502 , 1600 ] 0 0 0 5 40 5 0 0 0
[ 1602 , 1700 ] 0 0 1 7 39 3 0 0 0
[ 1702 , 1800 ] 0 0 0 9 37 4 0 0 0
[ 1802 , 1900 ] 0 0 1 7 42 0 0 0 0
[ 1902 , 2000 ] 0 0 0 4 45 1 0 0 0
[ 1902 , 2002 ] 0 0 0 4 45 1 0 0 0
偶数 5002-10000、20002-21000的概率计算值的相对误差 E(m)分区分布情况实录：
E(m): <=-.25 (-.25~-.15](-.15~-.05](-.05~.05] (0.05~.15] (.15~.25] (.25~.35] >.35
------------------------------------------------------------------------------------------------
[ 5002 , 5200 ] 0 1 24 68 7 0 0 0
[ 5202 , 5400 ] 0 0 24 68 8 0 0 0
[ 5402 , 5600 ] 0 0 26 64 9 1 0 0
[ 5602 , 5800 ] 0 1 26 66 7 0 0 0
[ 5802 , 6000 ] 0 0 25 70 4 1 0 0
[ 6002 , 6200 ] 0 0 14 75 9 2 0 0
[ 6202 , 6400 ] 0 1 32 62 5 0 0 0
[ 6402 , 6600 ] 0 0 30 64 6 0 0 0
[ 6602 , 6800 ] 0 0 19 73 8 0 0 0
[ 6802 , 7000 ] 0 0 19 76 5 0 0 0
[ 7002 , 7200 ] 0 0 27 70 3 0 0 0
[ 7202 , 7400 ] 0 0 25 70 5 0 0 0
[ 7402 , 7600 ] 0 0 8 78 13 1 0 0
[ 7602 , 7800 ] 0 0 17 73 10 0 0 0
[ 7802 , 8000 ] 0 0 12 79 9 1 0 0
[ 8002 , 8200 ] 0 0 16 73 10 1 0 0
[ 8202 , 8400 ] 0 0 18 71 11 0 0 0
[ 8402 , 8600 ] 0 0 9 79 12 0 0 0
[ 8602 , 8800 ] 0 0 5 82 13 0 0 0
[ 8802 , 9000 ] 0 0 6 84 9 1 0 0
[ 8002 , 8200 ] 0 0 16 73 10 1 0 0
[ 8202 , 8400 ] 0 0 18 71 11 0 0 0
[ 8402 , 8600 ] 0 0 9 79 12 0 0 0
[ 8602 , 8800 ] 0 0 5 82 13 0 0 0
[ 8802 , 9000 ] 0 0 6 84 9 1 0 0
[ 9002 , 9200 ] 0 0 3 90 7 0 0 0
[ 9202 , 9400 ] 0 0 4 81 15 0 0 0
[ 9402 , 9600 ] 0 0 7 86 7 0 0 0
[ 9602 , 9800 ] 0 0 7 83 8 2 0 0
[ 9802 , 10000 ] 0 0 8 83 8 1 0 0
[ 20002 , 20200 ] 0 0 2 96 2 0 0 0
[ 20202 , 20400 ] 0 0 2 91 7 0 0 0
[ 20402 , 20600 ] 0 0 1 95 4 0 0 0
[ 20602 , 20800 ] 0 0 1 92 7 0 0 0
[ 20802 , 21000 ] 0 0 0 90 10 0 0 0
偶数30002—32000的相对误差 E(m)分区分布情况实录：
E(m): <=-.15 (-.15~-.1] (-.1~-.05] (-.05~.0] (0.~.05] (.05~.1] (.1~.15] >.15
------------------------------------------------------------------------------------
[ 30002 , 30200 ] 0 0 0 27 61 10 2 0
[ 30202 , 30400 ] 0 0 1 27 63 9 0 0
[ 30402 , 30600 ] 0 0 1 23 68 9 0 0
[ 30602 , 30800 ] 0 0 0 15 75 10 0 0
[ 30802 , 31000 ] 0 0 0 24 60 16 0 0
[ 31002 , 31200 ] 0 0 0 13 69 18 0 0
[ 31202 , 31400 ] 0 0 0 18 69 13 0 0
[ 31402 , 31600 ] 0 0 0 17 71 12 0 0
[ 31602 , 31800 ] 0 0 0 14 73 13 0 0
[ 31802 , 32000 ] 0 0 2 15 64 18 1 0
在该统计中，可看到在偶数较小时的区间里，偶数的相对误差E(m)值的分布与0的离散性比较大些；而在偶数较大时的区间里，大多数偶数的相对误差E(m)值的绝对值比较小，绝大多数的相对误差E(m)值分布在[-.10，.10]之中，故它们的真值S1(m) 值与计算值Sp(m)比较接近。由此可看出S1(m)的概率计算值Sp(m)是比较符合实际情况的，这是正常的，因为它是根据现有数学上的概率原理进行的。
因此，任意大偶数分成两个素数的分法数目只是一个与概率有关的数学问题，因而这个分法数目是可以进行近似计算的。当然，这与一些数学家的现有的数学知识不能解答一个大偶数分成两个素数的哥猜证明的结论是相反的，而与事实是接近的。
专家的结论 PK 事实数据，该相信什么？
S1(m)值变化的主要的特征系数——K(m)
对任意一个给定偶数M，假定A除以≤ r的全部素数时的余数都不为零，此时满足条件a的x值在 [0，A-3] 中的发生概率为 P(m)min，则有
P(m)min =1/2 * 1/3 * …*(n-2)/n * …*(r-2)/r； {式6}
其与该偶数的满足于条件a的x值实际的分布概率P(m)之间有：
P(m)=K(m)* P(m)min； {式7}
式中，K(m)= kn1* kn2 *…；这里kn1=(n1-1)/(n1-2)，kn2=(n2-1)/(n2-2)，…；
3 ≤ n1，n2，…,≤r； n1，n2等均为A的素因子。
因此，{式3 }的Sp(m)又可表达为：
Sp(m)=(A-2)*K(m)*P(m)min ； {式8}
由{式5}、{式8}，可得出：
S1(m)= Sp(m)/ [1+δ(m)] = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+δ(m)]； {式9}
从{式9}中的各个因子中，分析一下S1(m)值变化的影响因素：
因数(A-2)与P(m)min——对于在最大素数r值不变的对应区间内各偶数来说，解析几何告诉我们，Y=(A-2)P(m)min的平面图形是一条直线，因此这些偶数的(A-2)P(m)min乘积在直角坐标图上的点的连线，是一条斜率为P(m)min的直线段；在偶数稍大（r＞7）后的各个区间内，P(m)min 是较小的，并且随着素数r值的增大而逐渐变小，因而(A-2)×P(m)min的变化是很小的，越来越趋于水平。
对系数1/[1+δ(m)]的分析：
对于δ(m)，其数学期望值为零时，S1(m)与Sp(m)相等，而大多数偶数的相对误差δ(m)的绝对值与0之间虽然有一定的相差，但是如上面统计结果所示并不大，因而1/[1+δ(m)]值与1相差不大
[如在r =31的对应偶数区间内,1/[1+δ(m)]的值范围在（ 0.79~1.28） ；而在r =101的对应偶数区间内,1/[1+δ(m)]的值范围在（ 0.8897~1.117）之间]。
对K(m)值的分析：
由于K(m)值是由偶数M所含有的素数因子决定的，每连续三个偶数中即有一个偶数至少含有素数因子3，它的K(m)值必然大于或等于2，其对S1(m)的影响远远大于系数1/[1+δ(m)]的程度，因此K(m)值描绘出了S1(m)值变化的主要特征——周期性的脉动式突变。
在偶数的分成两个素数的数据S(m)，S1(m)，Sp(m)，K(m)所绘成的折线图上面，我们可以清楚地看到上面所述的这些现象。
在以偶数M为横坐标，数量Sum 为纵坐标的直角坐标图上，把相邻偶数所对应的S(m)、S1(m)、Sp(m)及K(m)值点分别连接起来，可得到偶数分成两个素数的有关数值的折线图形。附件：偶数200-300的分成两个素数的数据S(m)，S1(m)，Sp(m)，K(m)所绘成的折线图
与《歌德巴赫猜想的证明》有关的偶数M分成两个素数的分法数量S(m)的简单表达公式 S(m)＞√M /4 的导出
由式1 S(m)=S1(m)+S2(m)
把{式9}代入可得
S(m) = (A-2)*K(m)*P(m)min /[1+δ(m)] + S2(m)
= (A-2)*K(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n-2)/n]*…*[(r-2)/r] /[1+δ(m)] + S2(m) ‘P(m)min 的展开
= (A-2)*K(m)*K1(m)*(1/2)*(1/3)*…*[(n1-2)/n1]*…*[(r-2)/r] /[1+δ(m)] + S2(m) ‘引入小于r 的非素数的全部奇数因子
= (A-2)*K(m)*K1(m)*(1/2)*(1/r) /[1+δ(m)] +S2(m) ‘连乘式约分
= [(A-2)/2r]*K(m)*{K1(m)/[1+δ(m)]} +S2(m)
= [(M-4)/4 r ]*K(m)*{K1(m)/[1+δ(m)]} +S2(m) {式10}
式中：3≤n1≤r 、n1为奇数。K1(m)=f(m1)*f(m2)*…≥1；
这里 m1、m2、…为小于r的全部奇合数，f(m1)=m1/(m1-2)，f(m2)=m2/(m2-2 ，…
在{式10}中：
S2(m)≥0 ；
[(M-4)/4r]=[M/4r－1/r]，在M→大时，r 也逐步趋大，1/r 很快的接近0，对于以整数计数的分法数目来讲可以忽略，故 [M/4r－1/r]≈M/4r≥√M/4 ；
K(m)≥1；
对K1(m)/[1+δ(m)] 的值分析如下：
分母[1+δ(m)]的值如前面分析过的那样，当偶数M比较大时与1相差不多；而K1(m)是与小于r的全部奇合数有关。随着偶数M的增大，r的逐步变大，K1(m)值将越来越大，这是必然的。
偶数M所对应的K1(m)值的计算也是很容易得到的。下面为偶数 6——516962 的对应K1(m)值的摘录：
6 -- 10 r= 2 sp(m)min= .5 k1(m)= 1
12 -- 26 r= 3 sp(m)min= .67 k1(m)= 1
28 -- 50 r= 5 sp(m)min= 1.2 k1(m)= 1
52 -- 122 r= 7 sp(m)min= 1.71 k1(m)= 1
124 -- 170 r= 11 sp(m)min= 3.5 k1(m)= 1.285714
172 -- 290 r= 13 sp(m)min= 4.16 k1(m)= 1.285714
292 -- 362 r= 17 sp(m)min= 6.28 k1(m)= 1.483516
364 -- 530 r= 19 sp(m)min= 7.02 k1(m)= 1.483516
532 -- 842 r= 23 sp(m)min= 9.4 k1(m)= 1.639676
844 -- 962 r= 29 sp(m)min= 13.94 k1(m)= 1.924837
964 -- 1370 r= 31 sp(m)min= 14.88 k1(m)= 1.924837
1372 -- 1682 r= 37 sp(m)min= 20.11 k1(m)= 2.173203
1684 -- 1850 r= 41 sp(m)min= 23.44 k1(m)= 2.290673
1852 -- 2210 r= 43 sp(m)min= 24.58 k1(m)= 2.290673
2212 -- 2810 r= 47 sp(m)min= 28.15 k1(m)= 2.397216
2812 -- 3482 r= 53 sp(m)min= 34.4 k1(m)= 2.601234
3484 -- 3722 r= 59 sp(m)min= 41.24 k1(m)= 2.797554
3724 -- 4490 r= 61 sp(m)min= 42.59 k1(m)= 2.797554
4492 -- 5042 r= 67 sp(m)min= 49.82 k1(m)= 2.981
5044 -- 5330 r= 71 sp(m)min= 54.43 k1(m)= 3.069985
……
97972 -- 100490 r= 313 sp(m)min= 602.5 k1(m)= 7.703429
100492 -- 109562 r= 317 sp(m)min= 612.98 k1(m)= 7.752652
……
299212 -- 310250 r= 547 sp(m)min= 1555.88 k1(m)= 11.338438
310252 -- 316970 r= 557 sp(m)min= 1597.78 k1(m)= 11.504265
……
491404 -- 502682 r= 701 sp(m)min= 2358.72 k1(m)= 13.407416
502684 -- 516962 r= 709 sp(m)min= 2387.73 k1(m)= 13.522173
显然，大偶数的K1(m)/[1+δ(m)]的值是必然大于1的。
而对于r＜17时的情况，如前面分析的相对误差δ(m)分布情况的实录所示，误差值大于0.30也不多，仅有284、152、148、98、68、32、20等不多几个。
由于S(m)包括的S2(m)、K1(m)的影响，由实际情况知道，除了S(68)=2、 S(98)=3以外，其它的偶数M的S(m)值都满足于S(m)＞=M/(4r)。
因此可得出：除68、98外，任意一个大于4的偶数M的S(m)值，有S(m)＞=M/(4r)。
再由r 的定义，可知：M/(4r)＞√M /4；因此有 S(m)＞√M /4 ，且S(98) = 3＞√98 /4。
由此得出结论：
任意一个大于4的偶数M，都能分成两个素数，其分成两个素数的分法数量S(m)，除68外，有
S(m)＞√M /4 {式11}
这就是《歌徳巴赫猜想》必然成立的定性的理由。
概率计算的实例a：
偶数M为206-212时，小于根号（M-3）的最大素数是13；故这些偶数分成两个大于13的素数的分法数量S1(m)的概率计算值Sp(m)分别计算如下：[保留二位小数]
[ 206 = ] 103 + 103 97 + 109 79 + 127 67 + 139 43 + 163
13 + 193 7 + 199
M= 206 S(m)= 7 S1(m)= 5 Sp(m)= 4.99 E(m)= 0 K(m)= 1 r= 13
* Sp( 206)=[( 206/2 - 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)= 4.99
[ 208 = ] 101 + 107 71 + 137 59 + 149 41 + 167 29 + 179
17 + 191 11 + 197
M= 208 S(m)= 7 S1(m)= 6 Sp(m)= 5.5 E(m)=-.08 K(m)= 1.09 r= 13
* Sp( 208)=[( 208/2 - 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 12/ 13)= 5.5 注：208能被13整除；
[ 210 = ] 103 + 107 101 + 109 97 + 113 83 + 127 79 + 131
73 + 137 71 + 139 61 + 149 59 + 151 53 + 157 47 + 163
43 + 167 37 + 173 31 + 179 29 + 181 19 + 191 17 + 193
13 + 197 11 + 199
M= 210 S(m)= 19 S1(m)= 17 Sp(m)= 16.3 E(m)=-.04 K(m)= 3.2 r= 13
* Sp( 210)=[( 210/2 - 2)/2]*( 2/ 3)*( 4/ 5)*( 6/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)= 16.3 注：210能被3、5、7整除；
*示例： K(210)=[(3-1)/(3-2)]×[(5-1)/(5-2)]×[(7-1)/(7-2)]=3.2 [210能被3、5、7整除]
[ 212 = ] 103 + 109 73 + 139 61 + 151 31 + 181 19 + 193 13 + 199
M= 212 S(m)= 6 S1(m)= 5 Sp(m)= 5.14 E(m)= .03 K(m)= 1 r= 13
* Sp( 212)=[( 212/2 - 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)*( 5/ 7)*( 9/ 11)*( 11/ 13)= 5.14
实例b:
大偶数 M= 500002、500004、500006 （素数数据仅列出一小部分，其余略去）
249989 + 250013 249971 + 250031 249911 + 250091 249833 + 250169 249749 + 250253 ……
M= 500002 S(m)= 2345 S1(m)= 2328 Sp(m)= 2476.69 E(m)= .06 K(m)= 1.03 r= 701
249973 + 250031 249967 + 250037 249947 + 250057 …… 61 + 499943 47 + 499957 31 + 499973
M= 500004 S(m)= 5280 S1(m)= 5254 Sp(m)= 5556.79 E(m)= .06 K(m)= 2.31 r= 701
…… 277 + 499729 127 + 499879 109 + 499897 103 + 499903 79 + 499927 37 + 499969
M= 500006 S(m)= 2489 S1(m)= 2474 Sp(m)= 2619.79 E(m)= .06 K(m)= 1.09 r= 701
更多的计算实例数据与图形，请看看我的下面文章中的附件；求这些数据与图形的程序，也附在下面文章的附件中。
http://www.mathchina.com/cgi-bin/forums.cgi?forum=12
我只是运用现有的数学原理对一个偶数分成两个素数的情况作些探讨，我只希望“实事求是”的原则同样适用于《歌德巴赫猜想》问题。谨请各位对我观点感兴趣的爱好者、朋友，多提宝贵意见。如果我的言论伤害到什么人，我只能说声对不起了！因为这不是我的本意。
感谢你看了我的文稿，谢谢！
愚工688——一个愚笨的退休工程师
2009-5-29 于上海
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发表于 2009-5-29 09:48
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