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本帖最后由 1940400155 于 2014-6-8 22:58 编辑
巧证四色猜想（修订）
（四川省岳池县白庙职业中学 638350）陈 陶
摘要：对每一幅正规地图的四着色，作者另辟蹊径，采用独特的思维方式和研究方法，找到了恰当的切入点，利用数学归纳法、德•摩根定理和反证法等，严谨、简明地证明了四色猜想。
关键词：四色猜想 数学归纳法 德•摩根定理 着色模式T 捆绑法 反证法
一 四色猜想
四色猜想：画在一张纸（或者地球仪）上的每一幅正规地图，只要四种颜色，就能使有共同边界的国家着不同的颜色。
四色猜想指的地图是正规地图，在这种地图中，有两条限制：1，每个国家必须连成一片；2，两个国家的边界必须是条线，而不能是一点、或者一些孤立的点。
二 背景及现状
画在一张纸（或者地球仪）上的每一幅正规地图，国家个数n ∈ N﹡,随着n值的增大，情况越来越复杂，布局千奇万状，复杂性令人无法想象，即使是对一个不是很小的n值，做“四色”研究，一直都是令人头大的事。虽然1976年6月美国数学家阿佩尔与哈肯在两台不同的计算机上，用时1200小时才作出四色猜想的证明，但有不少数学家或学者对机器证明的正确性持质疑。对于书面证明，从问世（1852年由英国人提出）至今，对国家个数n的值﹙乐观点也不超150﹚推进有限，未彻底解决，一直在挑战人类智慧，它与费尔马大定理（1670年公布，于1994年9月被英国数学家安德鲁.怀尔斯破解）和哥德巴赫猜想（1742年提出，至今未彻底解决，目前最好结果属于我国数学家陈景润的“1 + 2” ）一起，成为了世界近代三大数学难题。纵观国内外对四色猜想的研究，160多年来，或用肯普、赫伍德等类似的方法，或一些新的方法，几乎要将其转化为与其相关的等价命题，并引入一批新的概念、公理、定理等，建立一套较完整的“理论体系” ，其“证明”不少是十分繁难的长篇论著﹙多达数百页﹚。美国当代著名的趣味数学家马丁•迦德纳在一本书的前言中说：数学的真谛在于不断寻求用越来越简单的方法证明定理和解答问题。也有专家认为：不排除一种可能，有朝一日四色猜想简洁明快的证明被高中生发现。进入21世纪以来，在国内，对该猜想的研究，队伍日益壮大，官科、业余科学爱好者和民科持续开展，大势所趋，国家所需，欲力图破解，为国争光，而使得有的人把一生都奉献于此，甚至有的官科还得到了国家自然科学基金等资助，更有呼吁成立《四色研究会》的。由于种种原因，在世界范围内，不少证明或者被否定，或者得不到数学界普遍承认，其深层次问题恐怕是由于选择的证明方法的“法力”有限，导致证明的繁难程度不可想象，而对证明过程中的某些细节，无论是证明者或审核鉴定者在短时间内都难以发现存在的问题。科学是求实的，数学科学更是严谨、天衣无缝的。经业余科学爱好者的努力，世人将见证中国数学在21世纪的一个重大突破。
三 四色猜想的证明
下面用数学归纳法和德•摩根定理等给出四色猜想严谨、简明、常规的纯数学证明，其过程自然流畅、通俗易懂，文中涉及到的相关示意图，集中附于文后。
证明：对画在一张纸（或者地球仪）上的每一幅正规地图着色，众所周知，要使有共同边界的国家着不同的颜色，四种颜色是必需的。若一幅地图只有一个国家，则四色猜想显然成立。若对国家个数不小于2的每一幅地图四着色，则按这幅地图的国家个数n作数学归纳法，分两种情形。
Ⅰ若这n﹙n ∈ N﹡，n≥ 2﹚个国家是连成一片的﹙连成一片，即每个国家至少与一个国家有共同边界）。
①如果在这n个国家中，不存在与自身有共同边界的国家个数小于4的国家，即每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于4。根据德•摩根定理“不可能有五个国家处于这样的位置，其中每个国家都和其余四个国家有共同边界” ，从而，满足这个条件的地图其国家个数不小于6。由此，可构建一个着色模式T，并用数学归纳法证明四色猜想成立。
（1）当国家个数n ＝ 6时，每个国家与自身有共同边界的国家个数恰好都等于4，其中，与“中心”A国有共同边界的有四个国家，与这四个国家有共同边界的一个R国是“环状”或者“半环状”的 ，如图﹙一﹚所示；对这六个国家着色，首先，构建一个着色模式：取A国，与A国有共同边界的四个国家用“1”与“2”﹙颜色代码）相间着色，其位置有两个选择，若有必要，且在不影响其它国家着色的情况下，“1”与“2”中的一国可用“3”或者“4”着色﹙若与A国有共同边界的国家个数m为奇数，则只需一个国家用到第三种颜色，其位置有m个选择﹚，我们把这种关于与A国有共同边界的国家的着色的模式记为T，简称为着色模式T，如图﹙一﹚；其次，缘着着色模式T，按符合四着色要求向外围的国家逐个着色，外围国家只有一个R国，着色“3”或者“4” ；再次，最后一个A国着色“3” 或者“4” 。这时，四色猜想成立（当国家个数n ＝ 7时，与A国有共同边界的国家个数m ＝ 4或5，分奇偶两种情形，“位置” 关系有四种〔图形略去〕，按着色模式T，易验证四色猜想也成立。）。
（2）假设国家个数n = k（ k ∈ N﹡,k ≥ 6）时，四色猜想成立，且是在如（1）的着色模式T下，并按（1）的程序和要求对地图完成四着色。也就是，在这幅地图上国家较密集的“中心”处，任取一国作为中心A国，设与A国有共同边界的国家个数为m﹙m满足4 ≤ m ≤ k － 2，且是某个确定的自然数﹚，总可以：ⅰ，用“1”与“2”﹙m为偶数﹚相间着色，若有必要，且又不影响其它国家着色，其中的一国可用“3”或者“4”着色，如图﹙二﹚；ⅱ，用“1”与“2” 相间着色后，第m个国家着色“3”或者“4”﹙m为奇数，只需一个国家用到第三种颜色，其位置有m个选择﹚，如图﹙三﹚；如果存在与这m个国家中的部分国家有共同边界，但与A国只有接触点而无共同边界的其它区域﹙此区域有国家或者无国家不确定﹚，跳过此区域，对这m个国家仍按着色模式T着色，如图﹙四﹚；构建如（1）的着色模式T。无论是情形ⅰ，或者情形ⅱ，对这k个国家着色都是在着色模式T下，并按（1）的程序和要求对地图完成四着色。整个着色过程分为三个阶段，第一阶段对m 个国家着色；第二阶段对k － m － 1个国家着色，方法是缘着着色模式T，按符合四着色要求向外围的国家逐个着色；第三阶段对最后一个A国着色，即：对ⅰ，A国可用“3”或者“4”着色；对ⅱ，A国可用“4”或者“3”着色，且都符合四着色的要求。
那么，当国家个数n ＝ k + 1时，因为每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于4，所以，在这幅地图上国家较密集的“中心”处，总存在两个有共同边界的国家，先将这两个国家视为一个国家“A”﹙合二为一﹚，这时，与“A”国有共同边界的国家个数仍不小于4（否则，在这两个国家中至少存在一个与自身有共同边界的国家个数小于4，这与“每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于4”矛盾，如图﹙五）），完全满足归纳假设；因此，对ⅰ，在如（1）的着色模式T下，前两个阶段的着色与归纳假设完全一致﹙包括国家个数﹚，第三阶段，对最后这两个﹙一分为二﹚国家、即对“A”国的着色，分别用 “3” 、“4”着色即可，如图﹙六﹚，且符合四着色的要求。对ⅱ，为了避免人为造成这最后两个国家、即“A”国中的一国有可能“无法着色”的情形，根据归纳假设，恰当选择着色“3” 的位置﹙这时着色“3”的位置没有m个选择，只有m － 2个选择〔 m ≥ 4 〕），在如﹙1﹚的着色模式T下，使最后着色的这两个国家、即“A”国中的一个国家P与着色“3”的国家有共同边界，另一个国家Q与着色“3” 的国家无共同边界﹙否则，P与Q中有一个国家与自身有共同边界的国家个数小于4，从而产生矛盾﹚，如图﹙七﹚，从而，前两个阶段的着色与归纳假设完全一致，第三阶段，对最后这两个国家、即对“A”国的着色，第k 个国家P着色“4” ，第k+1个国家Q着色“3” ，且符合四着色的要求。事实上，对ⅰ，取着色“3”或者“4” 的国家为A 国；对ⅱ，取Q为A国﹙根据对称性和归纳假设，只要恰当选择着色“3”的位置，在如（1）的着色模式T下，也可取P为A国﹚，无论与A国有共同边界的国家个数m是偶数或者奇数，关于A国的着色模式T′与关于“A”国的着色模式T同结构，如图﹙八﹚、图（九）；也就是，对着色模式T和着色程序的三个阶段的存在性或一致性也作了归纳论证。这就是说，当国家个数n ＝ k + 1时，四色猜想也成立。
特别地，当国家个数n ＝ k + 1，与A国有共同边界的国家个数m ＝ k － 1时，四色猜想显然成立﹙类似于n ＝ 6的情形﹚。
由（1）和（2）可知，对国家个数为n﹙n ∈ N﹡，n ≥ 6﹚且满足上述条件的每一幅正规地图，四色猜想都成立。
②如果在这n个国家中，存在（至少有一个）与自身有共同边界的国家个数小于4的B国，则四色猜想成立。
（1）当国家个数n ＝ 2时，四色猜想显然成立。
（2）假设国家个数n = k（ k ∈ N﹡，k≥ 2）时，四色猜想成立。
那么，当国家个数n ＝ k + 1时，暂不考虑B国，对其余的k个国家着色，根据归纳假设（即除B国外，还有与自身有共同边界的国家个数小于4的国家）或根据①的论证（即除B国外，不再有与自身有共同边界的国家个数小于4的国家，而是国家个数不小于4的国家），其着色都符合四着色的要求。又因为与B国有共同边界的国家个数小于4，所以，与B国有共同边界的国家着色不超过三种颜色，从而，B国至少可用第四种颜色着色。这就是说，当国家个数n ＝ k + 1时，四色猜想也成立。
由（1）和（2）可知，对国家个数为n（ n ∈ N﹡，n ≥ 2 ）且满足上述条件的每一幅正规地图，四色猜想都成立。
Ⅱ若这n（n ∈ N﹡,n≥ 2）个国家不是连成一片的。
这时，这幅地图的n个国家至少由两片组成，且每一片的国家个数（至少有一个）和位置关系无论怎样，根据Ⅰ的论证每一片的国家着色都符合四着色的要求，即四色猜想成立。
综上所述，对国家个数为n（ n ∈ N﹡）的每一幅正规地图，四色猜想都成立；并且成为四色定理。
有道是：奇思妙想破四色. 鸣金收兵获定理. 中国数学
附：证明示意图，其中图（八）由图（六）得到，图（九）由图（七）得到，P着色“4” ，Q着色“3” （因电脑问题，无法上传图形。可参见中国数学论坛《新闻热点、教育时讯》栏目或数学中国（数学建模）《拓扑学》栏目的《巧证四色猜想》（修订），另外，根据论证的思路和过程，也极易画出相对应的示意图）。
2014年4月29日
参考文献：
〔1〕李文汉．科学的发现﹙3﹚—六大数学难题的故事．北京：中国少年儿童出版社，1981﹕7.
特注：
1，四色猜想的该证明的知识产权属作者所有，并于2014年3月6日在四川省岳池县白庙职中、四川省岳池县科学技术协会等备案待查；瞟窃、盗用者将被追究相关责任。
2，期待国内外各数学权威机构、各高校数学科研院所﹙大学学报﹚、各自然科学（或数学）核心期刊编辑部的教授、专家、研究员等对该证明进行审查鉴定或刊用﹙联系电话：13219240735。QQ邮箱：1940400155@qq.com。
3，该证明于2014年3月15日至3月20日前后以《四色猜想的证明框架（密）》为题分别发布在新浪、腾讯、凤凰博客和中国数学论坛等网上，同时也将其投稿到中科院《智慧火花》（本次也同样处理），也作过省级问政等。目前，已有中科院在读博士温某、川大在读硕士陈某、本校在重师大的在职在读硕士李某、央视国际频道编辑（记者）温某等阅过该证明。
4，为了中国数学梦，热忱欢迎并期待国内外各大网站和网友倾情观注、评论和转载。
谢谢！恭祝大家：幸福美满，工作愉快！
2014年4月16日
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发表于 2014-6-7 22:31
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