证明：当 n 为正整数时，(3+√5)^n+(3-√5)^n 为正整数，且为 2^n 的倍数

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

n為正整數，證明(3+√5)^n+(3-√5)^n為正整數，且為2^n的倍數。

用數學歸納法處理

luyucheng1

问题解答。

drc2000

题有误?
n=1时，(3+√5)^n+(3-√5)^n=6
n=2时，(3+√5)^n+(3-√5)^n=28
以上均非2^n整数倍,
莫非指的是"有理数倍数",这可是很少见的.

luyucheng1

楼上没有理解，6=3*2^1  ,  是2^1的3倍；
                    28=7*2^2，是2^2的7倍；。。。。。。。

luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

下面是我的解答（因为解答时没有看到楼上的解答，所以重复了）：

1940400155

luyucheng1 发表于 2014-6-15 08:22
问题解答。

2楼用的是第二数学归纳法，应修改为，即“假设1≤n≤k时，.....都成立”，并将a、b限定为正整数。不必验证n=2时这一步。

drc2000

luyucheng1 发表于 2014-6-15 09:57
楼上没有理解，6=3*2^1  ,  是2^1的3倍；
                    28=7*2^2，是2^2的7倍；。。。。。。。

谢谢卢玉成先生。