三次曲线 y=f(x)与 y=32/27 切于(5/3,32/27)，与 x 轴切于(3,0)，求它与 x 轴围成面积

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

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luyucheng1

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luyuanhong

谢谢楼上 luyucheng1 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

题 三次曲线 y=f(x) 与 y=32/27 切于 (5/3,32/27)，与 x 轴切于 (3,0)，求它与 x 轴围成面积。

解 因为已知 y=f(x) 与 x 轴切于 (3,0) 点，所以可知：

x=3 是方程 f(x)=0 的一个二重根，即 f(x) 必含有 (x-3)^2 因子。

同时，因为 f(x) 是三次多项式，所以 f(x)=0 还有另一个实根 x=k 。

因此，f(x) 可以表示为 f(x)=b(x-k)(x-3)^2 的形式。

又因为已知 y=f(x) 与 y=32/27 切于 (5/3,32/27) 点，可见 x=5/3 和 x=3

是 y=f(x) 的两个极值点，所以 f'(x) 必含有 (x-3)(x-5/3) 因子。

因此，f'(x) 可以表示为 f'(x)=a(x-3)(x-5/3) 的形式。

对  f(x)=b(x-k)(x-3)^2 求导，整理后可得  f'(x)=3b(x-3)[x-(2k+3)/3] 。

与 f'(x)=a(x-3)(x-5/3) 对比，可知有

   a=3b ，即有 b=a/3 ，以及 (2k+3)/3=5/3 ，即有 k=1 。

所以  f(x)=b(x-k)(x-3)^2=(a/3)(x-1)(x-3)^2 ,

将 (5/3,32/27) 代入，可解得 a=3 ，所以 f(x)=(x-1)(x-3)^2 。

再对它在 (1,3) 区间上求定积分，就得到 y=f(x) 与 x 轴围成区域面积为 4/3 。