定积分定义的一个问题

elim

陆老师的解释解决了主帖的问题。

注意：无限分割沒有什么“到最后”这种结果，任何一个无限分割只会得到一个分割的序列．分割越来越细，但不锐变为点．就好像 {1/2^n} 这个序列代表无限对分，但不会“到最后”，没有“最后”．

对于每个分割，f 在小区间内的取值没有确定性，因此这种黎曼和也沒有确定性．但是对黎曼可积函数，对任一无限细分的分割序列，任意取定其每个分割下的黎曼和，这种黎曼和所构成的序列总是收敛到唯一的极限．有关这方面的详细论述，是现代数学分析的标准内容．值得把它弄清楚．

fm1134

elim 发表于 2014-7-25 07:46
陆老师的解释解决了主帖的问题。

注意：无限分割沒有什么“到最后”这种结果，任何一个无限分割只会得到 ...

    你的这种说法是极限理论的标准说法，但仔细分析一下，就会发现其中有一些难以克服的矛盾。
    无限分割，顾名思义，的确是没有尽头的，永远没有“最后”的。但如果没有这个“最后“，定积分最终的那个精确值是哪里来的呢？我们知道，每一个划分都对应着一个∑f(ξi)Δxi，那么，与定积分最终的那个精确的极限值对应的f(ξi)是什么？Δxi又是什么？如果这时的Δxi不是一个长度为0的点的话，那么f(ξi)的取值仍是任意的、不确定的，那么也就没有所谓的“最终的精确的极限值”了。所以，你要是承认了分割是“没有终点”的，那么就不可能有最终的精确值，你要是承认了有最终的精确值，那么分割必然有一个最终的终点。这正是矛盾的焦点所在。当然了，你可以用“极限”的语言自说自话地、和稀泥似地把一起矛盾都掩盖掉，但这终究是一种自欺欺人的做法而已，我前面说的矛盾依然存在。
    你如果认为我前面的论述在逻辑上有什么问题，欢迎指正。但请不要用“极限”的语言自说自话，因为那只是绝症病人的安慰剂，不能解决任何矛盾和问题。

luyuanhong

elim

回12楼．还是举“无限对分”  [0,1] 的例子.  这种分割对应长度序列 {1/2^n} 即 1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2^n, ....

这个序列虽然不含 0, 也沒有最后的项，还是可以有极限 0.  而且这个极限是唯一的(这个序列沒有别的极限).

问这个 0 对应于该序列的哪一项没有意义：它不对应序列的任何项，它是序列的一个“聚点”(序列在含该点的
任一开区间之外至多只有有限项).  

“无限分割”不是一个确切的数学分析的术语。我们可以这么数学化它:
固定二实数 a < b，称 P = {p_0, p_1, ..., p_n} 为 [a, b] 的一个分割, 如果 p_0=a, p_n = b, p_i< p_j (i < j).

称 ||P||=max {p_i - p_{i -1} | 0 < i <= n} 为其'细度'，

称分割 P' 为 P 的一个加细，如果 P 是 P' 的真子集．于是一个“无限分割” 被定义为一列分割 {Pn}
其任一项都是前一项的加细, 且分割的细度所成的序列趋于0．

对应于分割 P, 函数 f 在各小区间上的上，下确界都是确定的。由此可定义 f 关于 P 的 上和及下和,
使得f 关于分割的任一黎曼和都介于这种由分割确定的上，下和之间。

黎曼可积函数就是对任何“无限分割”, 相应的上和，下和的序列都有相同极限的函数。对于这种函数，传统的黎曼积分作为黎曼和在分割细度趋于0的极限的说法还是成立的，沒有什么矛盾。

永远

楼上陆老师的贴子很好，已收藏！

simpley

Σf(x)dx尽管x在每个区间可以任意取值，Σf(x)dx在同一个n时值不一样，但随着n增大，它们都会接近同一个数，这个数就是和的极限——定积分。
“那么f(ξi)的取值仍是任意的、不确定的，那么也就没有所谓的“最终的精确的极限值”了。”
它们的值不确定，并不影响极限的确定。
比如1/(n+d)这个数列，d是个变值，不同的N时它的值都不一样，但只要确定它在（－1，1）中任意取值，数列仍有极限