已知 x∈R ，x≠0 ，求 (1+x-sinθ)^2+(1-x-2/x+cosθ)^2 的最小值

luyuanhong

这是网友 tigerfull 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

已知x∈R,x≠0,求(1+x-sinθ)^2+(1-x-2/x+cosθ)^2 的最小值

luyuanhong

liangchuxu

提出另类解法，大家讨论。

luyuanhong

楼上的解法是不对的。下面举一个简单的反例：

题  求 (1-2x)^2+(2+x)^2 的最小值。

正确的解法是：

   (1-2x)^2+(2+x)^2 = (1-4x+4x^2)+(4+4x+x^2) = 5x^2+5 ≥ 5 。

    当 x=0 时，恰有 (1-2x)^2+(2+x)^2 = (1-2×0)^2+(2+0)^2 = 1+4 = 5 。

    所以 (1-2x)^2+(2+x)^2 的最小值就是 5 。

下面仿照楼上的解法：

(1-2x)^2+(2+x)^2 ≥ 2｜1-2x｜｜2+x｜<=>｜1-2x｜=｜2+x｜ 时等式成立。

    (1-2x) = ±(2+x) 。

A）、1-2x = 2+x ，3x = -1 ，x = -1/3 。这时有

    (1-2x)^2+(2+x)^2 = (1+2/3)^2+(2-1/3)^2 = 25/9+25/9 = 50/9 。

    最小值为 50/9 = 5.5555… 。

B）、1-2x = -2-x ，x = 3 。这时有

    (1-2x)^2+(2+x)^2 = (1-2×3)^2+(2+3)^2 = 25+25 = 50 。

    最小值为 50 。

很明显，楼上这样的解法是错误的。

liangchuxu

谢谢老师指点。这是班上一位爱挑战学生做的，当时看了，说不出错在哪里？