a,b,c为边长，x,y,z 为顶点到内心距离，r 为内切圆半径，s=(a+b+c)/2，证明 abcr=xyzs

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

luyuanhong

kanyikan

简证：
记△ABC是面积为S，外接圆半径为R，
则S=ab·sin(C)/2=abc/(4R)，所以abc=4RS。
由于S=rs，所以r=S/s。
由于r=4R·sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)，所以sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)=r/(4R)=S/(4Rs)
所以abcr=4RS·S/s=4R(S^2)/s，
易得x=r/sin(A/2)、y=r/sin(B/2)、z=r/sin(C/2)。
所以xyzs=(r/sin(A/2))(r/sin(B/2))(r/sin(C/2))s
=(r^3s)/(sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2))
=((S/s)^3)s/(S/(4Rs))=4R(S^2)/s，
所以abcr=xyzs。

luyuanhong

谢谢楼上 kanyikan 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。