设平面上n (≥5)个圆中任意三个圆共点. 试证这 n 个圆共点.

elim

设平面上n (≥5)个圆中任意三个圆共点. 试证这 n 个圆共点.

luyuanhong

ataorj

不知为何图片和附件都没能上传,略过.
如图,a,b,c共点O,最多还有3个交点A,B,C
假设一新圆d不经过O:
假设d,b交于D,E,则D[或E]必须和A[或O]重合,也必须和C[或O]重合
即[或E],A[或O],C[或O]必须重合
而对于A[或O],C[或O]重合,因为A,C,O已经都不重合,所以只能取O,O重合,即取O共点
则现在需要重合D[或E],O,就是说,d必须过O
结论:要求任何三个圆都共点时,从第4圆开始[含4],每增加一个新圆都必须经过O共点
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可以延申思考4色猜想.谁继续?

luyuanhong

楼上说 “d 必须过 O” 是不对的。

看看第 2 楼的图就可以知道，可以有 4 个圆（图中的⊙O1，⊙O2，⊙O3，⊙O4），

满足任何三个圆都共点，但是四个圆不共点。

ataorj

谢谢陆教授指出错误!我当时认为对任意两个交点A,C分析就行了,漏掉了对交点B的分析,更正如下:
如图,a,b,c共点O,最多还有3个交点A,B,C
做一新圆d不经过O:
假设d,b交于D,E,则
1)D[或E]必须和A[或O]重合,也必须和B[或O]重合,也必须和C[或O]重合
即[或E],A[或O],B[或O],C[或O]必须重合
而对于A[或O],B[或O],C[或O]重合;先看A[或O],B[或O]重合,因为A,B,O已经都不重合,
所以只能取O,O重合,即取O共点;则A[或O],B[或O],C[或O]只能重合于O
则现在需要重合D[或E],O,就是说,d必须过O.....①
2)或者d同时经过A,B,C[即d是A,B,C三点圆],这时满足任何三个圆都共点，但是四个圆不共点。.....②
现在打算继续增加一个圆e,
3)这时对于②
由于O,A,B,C任意三点都建立了圆,e就不能同时过其三点,更不能同时过其四点了.
而e即便同时过其两点时,[这里计划排列组合总数分析,放弃费神,不再考虑]
4)这时对于①[放弃费神,不再考虑]

elim

谢谢陆老师的解， ataorj 的参与。以下是我的一个解：