证明：对数函数不能用有限次的加、减、乘、除、乘方运算来表示

luyuanhong

这是网友 nnzgyh01 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

a^x=y的解新建了log a y这个函数表示，说明数学家们已经证明了关于x的+,-,*,/，^有限次运算无法表示x，但是如何证明呢？

elim

若对数函数恒等于一个多项式，那么经过有限次求导就得到常数 0. 但我们有对数函数任意次非常数的导函数的公式。这个矛盾表明对数函数没有多项式表示。

luyuanhong

谢谢楼上 elim 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

elim

一般的情形， 设对数函数恒等于一个有理分式，将对数函数展成幂级数，两边乘以有理分式的分母，即得类似的矛盾。

nnzgyh01

非常感谢陆老师和elim老师的解答，但是elim老师可能没看清题目，假如只是四则运算+,-,*,/组成的运算，自然是多项式函数。证明也简单许多。但如果是+,-,*,/,^五个运算符组成的函数，就没有那么简单了。比如，只有一个/和一个^符号的函数y=x^(1/x),和对数函数一样，它的任意次导数非常数，这个问题又该如何证明呢？

波斯猫猫

根据前后两者的关系，前者的超越性决定了后者具有超越性。