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风花飘飘

数学研发论坛大牛很多，让他们帮忙解个题：

王守恩

风花飘飘！我先试试。看看我那里错了？

n^2=16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m+1       (1)

注意：(1)式右边是奇数， 则(1)式左边=(2a+1)^2=4a^2+4a+1，    (1)式变成：

4a^2+4a+1=16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m+1

即：a(a+1)=4*m^8+16*m^7+96*m^6+232*m^5+242*m^4+116*m^3+24*m^2+2*m     (2)

注意：(2)式左边是奇数，(2)式右边是偶数。    我们可以这样说， (2)式无正整数解。

风花飘飘

王守恩 发表于 2018-6-28 08:56
风花飘飘！我先试试。看看我那里错了？

n^2=16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m ...

不知这样证行不行啊？
【求证】：
16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m +1 ≠ N^2

【反证法】假设相等：
N^2=(16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m) +1
把1移到左面，两头分解因式：
(N-1)*(N+1)=(8*m*(m+1))*((m*(m+1)*(2*m^4+4*m^3+38*m^2+36*m+11))+1)
因为N与m都是待定数，不妨令：
(m*(m+1)*(2*m^4+4*m^3+38*m^2+36*m+11))=N————（1）
则有：(8*m*(m+1))=(N-1)  是成立的
即：(8*m*(m+1))+1=N————（2）
由（1）=（2）得：
(m*(m+1)*(2*m^4+4*m^3+38*m^2+36*m+11))-((8*m*(m+1))+1)=0
解这个方程的结果：m没有整数解！
也就是说N^2=(16*m^8+64*m^7+384*m^6+928*m^5+968*m^4+464*m^3+96*m^2+8*m) +1时，m没有整数解。
命题得证！

风花飘飘

求正整数解：
y^2=n^8+68*m^2*n^6-122*m^4*n^4+68*m^6*n^2+m^8-----------（1）
当m=n时得：y=(4*m^4)
但m=n时，a与c都收缩为零，不合题意，故m≠n

……