多项式函数 f(x) 有拐点 (0,f(0)) 和 (1,f(1))，f(x) 在 [0,1] 中是否一定有极值？

luyuanhong · 发表于 2014-12-20 00:13

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

zhaolu48 · 发表于 2014-12-20 03:17

本帖最后由 zhaolu48 于 2014-12-19 19:34 编辑

不一定，如函数
y=sin(πx/2)(-∞≤x≤1)；2+sin(πx/2+π)(1≤x≤+∞)
即是一个分段函数，
在区间[-∞，1]上，为y=sin(πx/2)，
在区间[1，+∞]上，为y=2+sin(πx/2+π)，
则此函数在R上连续可微，两点(0,f(0)),(1,f(1))处是拐点，
在[-1,3]上始终为增函数，x=-1时，函数取最小值-1；x=3时，函数取最大值3。

luyuanhong · 发表于 2014-12-20 10:39

谢谢楼上 zhaolu 的解答。但原题中的 f(x) 要求必须是多项式函数。

luyuanhong · 发表于 2014-12-20 11:29

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多项式函数 f(x) 有拐点 (0,f(0)) 和 (1,f(1))，f(x) 在 [0,1] 中是否一定有极值？

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