一个灵感让我得到一套算法

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对于一个Φp素数群来说，其全体元素不管是对于加法还是乘法，全部都是两两结对互逆的，也就是说对于同余方程x+y≡0（m0d p）和xy≡1（m0d p），不管x取群里任何一个元素，总可以找到二个元素为y，分别使得这两个同余方程都可以成立。于是一个灵感问我：是否可以找到一个元素为y，分别使得这两个同余方程也都可以成立？
对于这个问题，我首先发现，如果这个素数是一个p=4k+1形素数，g是它的一个原根，那么就有gk+g3k≡gk（1+g2k）≡gk（1-1）≡0（m0d p），gkg3k≡g4k≡1（m0d p）。这就是说，只有在p=4k+1形素数里，其原根g的gk和g3k，才会既是一对加法互逆元素，也是一对乘法互逆元素。
接着我又发现，如果将Φp素数群里的4k个元素，按照由小到大的顺序排列，并且将它划分成为2k^(1/2)个块，每块都是2k^(1/2)个元素。那么，gk或g3k对于第一个块里的2k^(1/2)个元素的乘积，其模p的余数必定会有一个，仍然落在第一块之内。这就是说，在第一个块里，必定存在一个元素a，使得agk≡b（m0d p），也是第一个块里的一个元素，那么则有：
a2+b2≡a2+（agk）2≡a2（1+g2k）≡0（m0d p），即有a2+b2=p。
由此得到了将一个p=4k+1形素数，分拆为二平方和的具体算法。当然，当一个p=4k+1形素数是一个较大数的时候，整个的运算十分庞大。不管是设法找到其最小的那个原根，还是设法在在第一个块里找到a和b，都是极其繁琐的。当然，若是运用电子计算机计算，还是十分快捷的。
据说有人在一块，被称为“普林顿322”泥板上，破译出了十五组勾股数，其中的一组为x=12709，y=13500，z=18541。这块泥板，现存于美国哥伦比亚大学图书馆。今天我们即使运用电子计算机，要想将185412=343768681，拼成两个数的平方和，也不是那么容易就可以办到的事情。那么，古巴比伦人运用手工笔算能拼出这一组勾股数吗？除非他们真的得到过外星人的帮助。
正是根据这套算法，我在“表一素数幂为二平方和的探究”里给出，对于一个p=4k+1形素数来说，其r次方可以拆分为二平方和的数量是，当r是偶数时为r/2对，当r是奇数时为（r+1）/2对。正是由于我早就掌握了这套算法，所以我能立即看出高斯的二平方和表法公式是错的。倪则均，2014年12月22日。