康托的对角线法则真的可以证明实数区间(0,1)不可数吗？

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康托证明实数区间(0,1)内的数不可数时，用到了对角线法则，即：假设(0,1)内所有数可以一个一个地列出，则取与第一个数的小数点后第一位不同的数作为新数的小数点后第一位，与第二个数的小数点后第二位不同的数作为新数的小数点后第二位，依次类推，可以构造出一个与所列出的所有数都不同的新数，则证明了(0,1)内所有数不可数。
这里有一个问题。对于无理数而言，是无限不循环的，那么构造这个“新数”的过程就永远不会结束，换句话说，构造这个“新数”是伟大工程是永远不会竣工的，那么不禁要问，这个所谓的“新数”真的存在吗？这有些类似于“选择公理”中出现的疑问。

elim

照你这么看，就没有可数不可数一说，因为这种概念基于一一对应，而构造对应的过程按同样的逻辑不会完成。

其实数学没有什么叫完不成，只有不存在。而存在就是确定，就是自洽。对角线方法是确定的，如果【0，1】的可数排列是确定的。

基数理论的确依赖于选择公理。如果否定选择公理，或者说如果一个数学公理系统中没有选择公理及其等价形式，那么基数理论在这样的系统里是建立不起来的。