已知首项系数为 1 的整系数四次多项式 f(1)=5 ，f(2)=9 ，f(3)=13 ，求 f(7)+f(-3)

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：



請問，為什麼解答中紅色框框，不能假設成  (x-a)(x-1)(x-2)(x-3)? 一定要 a=0

造一個函數 g(x) = 4x +1 使得 g(1) = 5、g(2) = 9、g(3) = 13

但這其實是個特例

利用插值多項式的概念，我也可以造個

h(x) = 5 (x-2)(x-3)(x-4)/(-6) + 9(x-1)(x-3)/(-1) + 13(x-1)(x - 2)/2

而得到 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-a) + h(x)

此時仍可以滿足題目條件……

巧的是，我造的函數仍會有f(7)+f(-3)=1218

我在此提出第一個疑問，如何確定您找的特例可以確保答案正確？

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第二個問題

我利用GeoGebra，令 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-a)+4x+1

計算 f(7) - f(-3)，會得定值

但是 f(7) - (-2) 就不會得定值了

也就是說，這種題目的 "7" 和 "-3" 應該是特別找的

它需要符合什麼樣的性質，才能讓這種題目的求值能成為定值呢？

moranhuishou

此题似有误（非整系数）

X^4+ax^3+bx^2+x+r=?
解  据题意有
1+a+b+1+r=5,
16+8a+4b+2+r=9
81+27a+9b+3+r=13
简化
a+b+r=3   (1)
8a+4b+r=-9   (2)
27a+9b+r=-71  (3)

(2)-(1)
7a+3b=-12    (4)
(3)-(2)
19a+5b=-62    (5)
整理（5）（4）
35a+15b=-60
57a+15b=-186
(5)-(4)
22a=-126
a=-63/11
非整系数。

moranhuishou

此题似有误（非整系数）

X^4+ax^3+bx^2+x+r=?
解  据题意有
1+a+b+1+r=5,
16+8a+4b+2+r=9
81+27a+9b+3+r=13
简化
a+b+r=3   (1)
8a+4b+r=-9   (2)
27a+9b+r=-71  (3)

(2)-(1)
7a+3b=-12    (4)
(3)-(2)
19a+5b=-62    (5)
整理（5）（4）
35a+15b=-60
57a+15b=-186
(5)-(4)
22a=-126
a=-63/11
非整系数。

luyuanhong

楼上忘记了一次项也要乘以一个系数，应该设多项式为

x^4+ax^3+bx^2+cx+r 。

moranhuishou

已知首项为1的整系数四次多项式f(1)=5,f(2)=9,f(3)=13,求f(7)+f(-3)
设
X^4+ax^3+bx^2+cx+r=f(x)
据题意有
1+a+b+c+r=5,
16+8a+4b+2c+r=9
81+27a+9b+3c+r=13
简化
a+b+c+r=4   (1)
8a+4b+2c+r=-7   (2)   24a+12b+6c+3r=-27
27a+9b+3c+r=-68  (3)    54a+18b+6c+2r=-142

(2)-(1)
7a+3b+c=-11    (4)
(3)-(2)
19a+5b+c=-61  (5)
(3)-(1)
26a+8b+2c=-72  (6)

(5)-(4)
12a+2b=-50  (7)
(6)-(5)-(4)
10a=0  (8)
a=0
代入（7）
b=-25
代入(4)
C=64
代入（1）

r=-35   
得式
X^4-25x^2+64x-35=f(x)
F(7)=2401- 1225+448-35=1589
F(-3)=81-225-192-35=-371
F(7)+f(-3)=1218=2*3*7*29

计算太繁琐也没审查，不知会不会有误，大概应该酱紫滴

luyuanhong

谢谢楼上 moranhuishou 的解答。下面是我的解答：