几个亏格为1的图在亏格为1的轮胎面上的画法

雷明85639720

几个亏格为1的图在亏格为1的轮胎面上的画法
雷  明
(二○一八年七月四日)

虽然K1、K2、K3、K4是平面图，甚至多重的K1、K2、K3、K4也都是平面图，可以嵌入在亏格为0的平面上，但多重的K1、K2、K3、K4也是可以嵌入亏格为1的轮胎面上。而K5、K6、K7均是非平面图,只能嵌入在轮肿面上。它他各自都适用于各自的亏格所对应的欧拉公式。
1、K1图的画法（如图1）：

亏格为N＝0的K1图的V＝1，F＝1，E＝0，V＋F－E＝1＋1－0＝2（1－N）＝2（1－0）＝2，符合亏格为0的图的欧拉公式；
亏格为N＝0的2—重K1图的V＝1，F＝3，E＝2，V＋F－E＝1＋3－2＝2（1－N）＝2（1－0）＝2，符合亏格为0的图的欧拉公式；
亏格为N＝1的2—重K1图的V＝1，F＝1，E＝2，V＋F－E＝1＋1－2＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，符合亏格为1的图的欧拉公式。
2、K2图的画法（如图2）：

亏格为N＝0的K2图的V＝2，F＝1，E＝1，V＋F－E＝2＋1－1＝2（1－N）＝2（1－0）＝2，符合亏格为0的图的欧拉公式；
亏格为N＝0的3—重K2图的V＝2，F＝3，E＝3，V＋F－E＝2＋3－3＝2（1－N）＝2（1－0）＝2，符合亏格为0的图的欧拉公式；
亏格为N＝1的3—重K2图的V＝2，F＝1，E＝3，V＋F－E＝2＋1－3＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，符合亏格为1的图的欧拉公式。
3、K3图的画法（如图3）：

亏格为N＝0的K3图的V＝3，F＝2，E＝3，V＋F－E＝3＋2－3＝2（1－N）＝2（1－0）＝2，符合亏格为0的图的欧拉公式；
亏格为N＝0的3—重K3图的V＝3，F＝5，E＝6，V＋F－E＝3＋5－6＝2（1－N）＝2（1－0）＝2，符合亏格为0的图的欧拉公式；
亏格为N＝1的3—重K3图的V＝3，F＝3，E＝6，V＋F－E＝3＋3－6＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，符合亏格为1的图的欧拉公式。
4、K4图的画法：

亏格为N＝0的K4图的V＝４，F＝４，E＝６，V＋F－E＝４＋４－６＝2（1－N）＝2（1－0）＝2，符合亏格为0的图的欧拉公式；
亏格为N＝0的3—重K4图的V＝４，F＝７，E＝９，V＋F－E＝４＋７－９＝2（1－N）＝2（1－0）＝2，符合亏格为0的图的欧拉公式；
亏格为N＝1的3—重K4图的V＝4，F＝5，E＝9，V＋F－E＝4＋5－9＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，符合亏格为1的图的欧拉公式。
5、K5图的画法（如图5）：

亏格为N＝1的K5图的V＝5，F＝5，E＝9，V＋F－E＝4＋5－9＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，符合亏格为1的图的欧拉公式。
6、K6图的画法（如图6）：

亏格为N＝1的K6图的V＝6，F＝9，E＝15，V＋F－E＝6＋9－15＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，符合亏格为1的图的欧拉公式。
7、K7图的画法（如图7）：

亏格为N＝1的K7图的V＝7，F＝14，E＝21，V＋F－E＝7＋14－21＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，符合亏格为1的图的欧拉公式。
8、K3，3图的画法（如图8）：

该K3，3图画在轮始面上后，把不相邻的顶点A1和A3同化凝结在一起，把B1和B3同化凝结在一起，再把A2凝结到A1和A3上，把B2凝结到B1和B3上，就得到一个亏格为1的K2图嵌入在亏格为1的曲面——轮胎面上。
图8右上图的V＝6，F＝3，E＝9，V＋F－E＝6＋3－9＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，符合亏格为1的图的欧拉公式。
图8左下图的V＝4，F＝2，E＝6，V＋F－E＝4＋2－6＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，也符合亏格为1的图的欧拉公式。
图8右下图前面已经说过，其V＝2，F＝1，E＝3，V＋F－E＝2＋1－3＝2（1－N）＝2（1－1）＝0，也是符合亏格为1的图的欧拉公式的。

从以上可以看出，虽然高阶曲面上可以嵌入低阶曲面上的图，但二者是有差别的，顶点V是相同，但面数F和边数E却均不相同。但它们均是适用于各自亏格的欧拉公式的。虽然K1、K2、K3、K4都可以画在（或者说嵌入）亏格为1的轮胎面上，但它们可嵌入的最小曲面的亏格却是0，是平面，所以这几个完全图的亏格也是0。因为图的亏格是图可嵌入的曲面的最小亏格。


雷  明
二○一八年七月四日于长安

注：此文已于二○一八年七月四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

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