设 A,B,C 为一三角形的三内角，且 sinA+sinB-cosC=3/2 ，求 A,B,C

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

中国上海市

2sin(A+B)/2cos(A-B)/2-2(cosC/2)^2+1=3/2
2sin(π-C)/2cos(A-B)/2-2(cosC/2)^2=1/2
2sin(π/2-C/2)cos(A-B)/2-2(cosC/2)^2=1/2
2cosC/2cos(A-B)/2-2(cosC/2)^2=1/2
2(cosC/2)^2-2cosC/2cos(A-B)/2+1/2=0    (1)
Δ=[2cos(A-B)/2]^2-4×1/2×2=4cos(A-B)/2]^2-4≥0
4cos(A-B)/2]^2≥4
[cos(A-B)/2]^2≥1
[cos(A-B)/2]^2=1
cos(A-B)/2=1   (2)
(2)代入(1)得
2(cosC/2)^2-2cosC/2+1/2=0  
cosC/2=1/2
C/2=π/3
C=2π/3
由(2)得
(A-B)/2=0
即A=B
∴A=B=π/6

中国上海市

从4[cos(A-B)/2]^2≥4到cos(A-B)/2=1 应有很多文字说明，嫌打字麻烦都省略掉了

kanyikan

sin(A)+sin(B)-cos(C)=3/2
=>2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2+1=3/2
=>2cos(C/2)cos((A-B)/2)-2(cos(C/2))^2=1/2
=>cos(C/2)^2-2cos((A-B)/2)cos(C/2) +1/4=0
=>(cos(C/2)-1/2)^2+cos(C/2)(1-cos((A-B)/2)))=0
由于(cos(C/2)-1/2)^2≥0、cos(C/2)(1-cos((A-B)/2)))≥0，
=>cos(C/2)-1/2=0、cos(C/2)(1-cos((A-B)/2)))=0，
=>cos(C/2)=1/2、cos((A-B)/2)=1
=>C=120°、A=B
=>A=B=30°、C=120°。

luyuanhong

谢谢楼上 kanyikan 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。