在方程 x+y+z=19 的正整数解中，满足任一数皆小于另两数之和的解 (x,y,z) 有几组？

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

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题  在方程 x+y+z=19 的正整数解中，满足任一数皆小于另两数之和的解 (x,y,z) 有几组？

解  不考虑 x,y,z 的排列次序，三个数中有两个相同、一个不同的解有下列 5 组：

               (9,9,1) ，(8,8,3) ，(7,7,5) ，(6,6,7) ，(5,5,9) 。

    再考虑 x,y,z 的排列次序，上述每一组解可以有 3 种不同的排列，所以这样的解总数为

                                   5×3＝15 。

    不考虑  x,y,z 的排列次序，三个数都不同的解有下列 5 组：

               (9,8,2) ，(9,7,3) ，(9,6,4) ，(8,7,4) ，(8,6,5) 。

    再考虑 x,y,z 的排列次序，上述每一组解可以有 6 种不同的排列，所以这样的解总数为

                                   5×6＝30 。

    所以，满足题目要求的解的总数为

                                   15＋30＝45 。