求 x^2000-1 除以 x^2+x+1 的余式

luyuanhong

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

計算 x^2000 -1 除以 (x^2+x+1) 的餘式

解:

課堂老師是這麼說的 利用餘式定理

(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1

x^2000-1=(x^3-1)Q(x)+R(x), 令 x^3=a(進行代換)

(x^2)a^666=(a-1)Q(x)+R(x), 令 a=1, R(x)=x^2

為何 a=1, 就確定 R(x)=x^2， 感覺是對的，但是好像少了很多東西?

因為我覺得如果令a=1

(x^2)a^666 這個式子中的 x^2 是來自於  x^3=a, 為何不轉換成有關a的式子，

然後帶入a=1

且 R(x) 也是一個含有a 的關係式，也就是說

x=a^(1/3),

(x^2)a^666=(a-1)Q(x)+R(x)  等同於

a^(2/3)a^666=(a-1)Q[a^(1/3)]+R[a^(1/3)]

總之，我想問的是，所謂利用餘式定理處理這個問題，a=1, 就確定 R(x)=x^2是甚麼意思?感覺跳了很多觀念。

是否有詳細的式子可以釐清這個概念?

王成5

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luyuanhong