再与张彧典先生交换意见（之二）

雷明85639720

再与张彧典先生交换意见（之二）
雷  明
（二○一八年七月九日）

我的《再与张彧典先生交换意见》之一发出后，张先生回复我：
“我认为，敢峰先生对于米勒构形生成原因的分析是科学的，具有重要价值，这是我在构造了15个非十折对称的有解构形之后，深刻理解了的。我的最后4个构形就是在方老给出的第17----20步4次小循环、无解构形中构造出的。显然，这4个构形的求解过程又返回我的第1----4个构形了。所以，我们今天得到的19个非十折对称构形与方老得到的19个无解循环构形形成一个一一对应关系，应该是完备的，再加上我们对于米勒族4个构形以及Z染色程序解法，完成了染色困局一个周期20的循环问题的解决。”
我现有作如下回复：
张先生：
1、过去你的一切文章中从不提及敢峰先生，特别是你的已出版的《四色问题探秘》一书中，根本就就与敢峰先生没有任何关系；可是在我重新提出敢峰先生在研究四色问题上所作的伟大功绩后，特别是在指出你的所谓Z—换色程序实质上就是敢峰先生在一九九二年解决他的终极图的4—着色问题的方法之后，你却硬把敢峰先生与你往一块拉。能拉到一起去吗。
2、看问题要看到它的本质，不能只看到表面现象。你的连续颠倒的方法是在对已知的具体图进行4—着色的方法，你是按逆时针方向进行的；而敢峰先生的二十步大演绎却是在构造他的终极图，是按顺时针方向进行的。敢峰先生在演绎中遇到可以解决问题之时，先不去解决，而是有意制造不能4—着色的条件，目的是为了构造他的终极图。他最后的确也构造出了他的终极图，并且也能解决终极图的4—着色问题；而你在连续颠倒过程中，却看不到应该解决问题的机会，把本来颠倒次数很少的图，却进行了长达十多次的颠倒。只看到可以同时移去两个同色时，才能解决问题，才去解决问题；而看不到中途还可以通过别的办法进行解决。虽然最后同样也是把问题解决了，但你是多走了好多的弯路，只能是少、慢、差、费。
3、敢峰先生的二十步大演绎，实际上在第十六步时已经得到了他的终极图，但因为这时的图中的各顶点的颜色还没有回到演绎开始时的颜色，所以就继续进行了四次演绎，使得顶点各顶点的颜色与演绎开始前的颜色相同，特别是5—轮的轮沿顶点的颜色。第十六步的结果是345—BAB型的构形，而第二十步的结果则是123—BAB型的构形。把这第十六步的结果进行整理，对顶点重新命名，也就可以得到我们平时所常用的123—BAB型的构形。还要看到这不只是一个简单的逆时针旋转144度的问题；而是要从345—BAB型，—经过512—CDC型，234—ABA型，451—DCD型，最后才能到达123—BAB型。总共要顺时针转过576度。
4、你说：“我认为，敢峰先生对于米勒构形生成原因的分析是科学的，具有重要价值，这是我在构造了15个非十折对称的有解构形之后，深刻理解了的。”我却不这样认为，敢峰与米勒的图虽相同，但是两人是在远隔重洋的不同的国家，从不认识，在通讯条件极差的一九九○年前后，几乎是在同一时间构造出来的。可是米勒不能对他的图进行4—着色，而敢峰先生却做到了。怎么能说是“敢峰先生对于米勒构形生成原因的分析”是“科学的，具有重要价值”的呢，而只能说是敢峰先生本人构造终极图的构图方法是科学的，无可非意的。另外你只说你“构造了15个非十折对称的有解构形”，难道我构造的第十六个构形就不是非十折对称的有解构形吗。我不是打破了你当时的十四次颠倒的数字吗。
5、你说，你“构造了15个非十折对称的有解构形之后”，才认识到敢峰先生的构图思想和方法“是科学的，具有重要价值”的。实际上你构造的前八个构形实在是与米勒图（也就是敢峰图）没有任何联系的，因为在你得到米勒图之前的将近十年时间前就得出了你的八个所谓“有解构形”的，而在得到了米勒图后，同样与米勒相同，无法用连续颠倒法对其进行4—着色，才把它另归入一类的，而作为第九个构形出现了。且用了与敢峰先生对该图同样的4—着色办法给其进行了4—着色，你虽把它称之为Z—换色程序，但其实质上是相同的。只能说你的图10到图15六个构形是在最近在对敢峰图改动了其中的一个四边形的对角线后得到的，而图16还是我构造的构形。看来，现在你可能又要把你的构形集中的构形个数由九个再增加了（你已经说了是20个了）。
6、我这个需要连续颠倒十六次的非十折对称的有解构形的构造出来，还是要归功于你的，没有你的需要连续颠倒十四次的构形，就不会有我的这个构形。你的构形逆时针颠倒十四次，顺时针颠倒需要四次，我把顺时针颠倒第二次的结果整理变形成123—BAB型，所得到的图就是一个可以连续逆时针颠倒十六次的构形。这就是我的X＋Y－2的理论，这里，X和Y分别是两个不同方向连续颠倒的次数。同样的，几年前，我构造的连续颠倒十次的构形，也是在你的第八构形的基础上构造出来的。
7、对于你的图2到图20的19个图，我都进行过研究，其X＋Y－2的值都没有大于16的。这就不得不使我猜想：任何一个构形，连续颠倒的次数最多只能是十六次。但我现在还不能给出证明，我想一定是可以给出证明的。这个十六次颠倒与敢峰先生的十六次大演绎是何等的相吻合。这虽也可以说明一点问题，但不能用它来代替证明。
8、你说：“我的最后4个构形就是在方老给出的第17----20步4次小循环、无解构形中构造出的。显然，这4个构形的求解过程又返回我的第1----4个构形了。”既然你的最后四个构形的颠倒次数与第一到第四构形颠倒次数相同，那么按照你划分构形类型的原则——颠倒次数相同的构形归入同一类，把最后四个构形归入第一到第四类就可以了，不必要再单独列出。也就不存在什么19个有解构形和一个无解构形的问题。真正要对构形分类，就不应该再存在什么“有解构形”和“无解构形”的问题了，都是同等的“有解”构形。
9、你还说：“我们今天得到的19个非十折对称构形与方老得到的19个无解循环构形形成一个一一对应关系，应该是完备的，再加上我们对于米勒族4个构形以及Z染色程序解法，完成了染色困局一个周期20的循环问题的解决。”请不要再提“无解构形”这个错误的术语了，你、我、还有敢峰先生，不都对敢峰的图可以进行4—着色吗，怎么能说是“无解构形”呢。你的图10到图20不都是在敢峰图中把一个四边形的对角线改动一下构成的吗，怎么能说图10到图15是“非十折对称的有解构形”，而图17到图20，才是“在方老给出的第17——20步4次小循环、无解构形中构造出来的”呢。敢峰先生只得到了一个你说的所谓的“无解构形”，而你怎么说是“与方老得到的19个无解循环构形”形成了一一对应的关系呢。这里的一个错误是，所谓的“无解构形”只有一个，而不是19个；二是你的十九个构形与敢峰先生的二十次大演绎之间并没有一一对应关系。你的连续颠倒着色法与敢峰大演绎的区别还在于你颠倒的始终，图的顶点个数和顶点间的相邻关系是固定的，而敢峰的大演绎的过程中，图中顶点的个数和连数是不断增加的，最后才得到了终极图。所以说你的连续颠倒着色法，与敢峰先生构图时用的大演绎法是不能进行比较的。怎么能把敢峰在构造终极图的过程中的中间结果说成是和你的已是具体图的十九个构形有一一对应的关系呢。
10、敢峰先生的理论非常好，他不但得到了有解的终极图，且在形成终极图的过程中得到了我总结出的各类构形，且都是有解的。第十六步的终极图就是我的A类构形，二人的解决办法也相同；第十五步已经得到了我的B类构形，即与赫渥特有相同特点的构形，即图中有通过5—轮两个轮沿顶点的环形的A—B链（该项构形是DCD型的），用我的解决B类构形的方法就可以解决，这就是敢峰先生说的“四色可解线路图”。但敢峰先生并没有就此罢休，而是有意的再设障碍，使其成为“四色不可解线路图”，最后到么十六步，终于找到了“可解的”终极图。今后，我还要对敢峰先生的理论进行进一步的研究，从中再找出我的C类构形的影子（敢峰先生已经说过了，在他构图的过程中都遇到了我的各类构形的，这就是“四色可解线路图”）。如果能找到，我与敢峰先生之间的学术分岐也就可以统一起来了。
11、你说“我们今天得到的19个非十折对称构形”和一个无限循环的构形，共计二十个，“完成了染色困局一个周期20的循环问题的解决。”现在先不能这么肯定的说话，是否构形集中只有19个有限颠倒次数的构形，是否只有一个无限循环的构形，现在都还没有进行证明是否正确，所以还不能说你的构形集是否是完备的。你看看你的构形，除了前几个简单的构形，以及图10到图16的构形有一定的规律外，从第四到第八能看出什么规律来吗，没有一定的规律能说明你的构形集是完备的吗。从你的构形集中的构形数量在一次次的改变这一点看，就能说明你的构形集是没有得到证明是否完备的。
12、敢峰先生很注重图中顶点的相互关系，多进行的四次演绎，完全是出自于要使演绎开始时的顶点颜色再现；而你却不讲究这一点，不重视顶点间的相互关系（你在《四色问题探秘》一书中的图6.1“Z换色程序”一图中，以及在《归纳法证明》一文中的证明中，就随便的对图中的顶点相邻关系进行变动就是证明），而只注重“双×夹×”型，这是不合适的。你只所以只看到四次颠倒“小循环”，八次颠倒“大循环”之争；而看不到，真正的循环是要进行二十次颠倒后才能实现的，这就是你不给顶点编号这个原因造成的。也请你不要把敢峰先生构造终极图的二十步大演绎与二十次颠倒是一个大循环同眼看待。实际上只要进行十六步大演绎就可构造出终极图；而构形顶点颜色与构形类型的大循环非得要经过二十次颠倒不可。二者是不同的，敢峰先生只所以要进行二十次大演绎，还不是为了顶点颜色与构形类型都与演绎之前相同吗。
13、敢峰先生是从方法论上去研究问题的，而你我则是着重于研究图的具体着色问题的。从目前看，我仍是坚定我的按构形的特片分类的分类原则，不同意你的按着色时颠倒次数的多少分类的原则，因为同一个图，不同的方向颠倒的次数是不同的，同一个图不可能既归入这一类，又可再归入别的类嘛。
14、我们三个人对四色问题的研究，基本方法都是相同的，希望能得到统一，到时我们相聚庆贺。现在我们只要能证明颠倒次数最多只要十六次，无限循环颠倒的构形就只有敢峰—米勒图一个，我们三个人在四色问题的研究上就能得到统一。
15、张先生，你的连续颠倒着色法与敢峰大演绎的区别还在于你颠倒的始终，图的顶点个数和顶点间的相邻关系是固定的，而敢峰的大演绎的过程中，图中顶点的个数和连数是不断增加的，最后才得到了终极图。所以说你的连续颠倒着色法，与敢峰先生构图时用的大演绎法是不能进行比较的。

雷  明
二○一八年七月九日于长安

注：此文已于二◎一八年七月九日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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