坎泊，赫渥特，谁对，谁错？

雷明85639720

坎泊，赫渥特，谁对，谁错？
雷  明
（二○一五年三月七日）

1、历史事实
一八七九年坎泊运用他所创造的颜色交换技术，成功的对一八五二年法朗西斯提出的地图四色猜测进行了证明，但有一种情况他没有考虑进去，给后来的赫渥特留下了一个“靶子”。这一情况就是在5—轮构形中同时存在两条连通链的情况下，该两链不只是有一个共同的起点，或是链的中间在同一个顶点相交叉的情况，还有两链既有相同的起点，中间还有相交叉的情况。的确，到了一八九○年赫渥特构造了一个图，正好就是坎泊所未能考虑进去的那一种情况的图。
赫渥特的图从现在的观点上看，是可以4—着色的，而且也还一定要使用坎泊所创造的颜色交换技术的。可那时，由于赫渥特，也包括坎泊在内，对坎泊创造的颜色交换技术的实质以及交换的原则并不了解，所以他们两都错误的使用了这一交换技术，一致使赫渥特的图不能4—着色，于是坎泊只好在英国皇家数学会上承认自已“弄错了”，也产生了赫渥特仍然运用了坎泊创造的颜色交换技术证明了所谓的“五色定理”。这就是一些人所说的“历史定论”——赫渥特否定了坎泊的证明方法。
2、赫渥特与坎泊有没有分岐
有人问，赫渥特与坎泊的分岐在什么地方呢，我回答是：他们没有分岐。如果说有分岐，那就只能是坎泊可以对赫渥特的图进行4—着色的情况下才会有分岐，而实际情况是他们二人都不能对该图4—着色。于是才有坎泊说他“弄错了”和赫渥特的“五色定理。到目前，人们还认为赫渥特的图只是否定了坎泊的证明方法，而不是对四色猜测的否定。甚至有人还说赫渥特在当时对他的图也是可以4—着色的，这简直是在胡说八道，请问，你们那一个人能拿出当年赫渥特对他的图的4—着色模式呢。如果赫渥特当年可以对他的图进行4—着色，为什么至目前的所有文献资料中都没有这一记录呢。相反，到现在我们已经采用坎泊的方法对赫渥特的图进行了4—着色的情况下，近年来出版的文献资料中仍在大肆渲染赫渥特仍然利用了坎泊的方法证明了所谓的“五色定理”呢；仍然大肆渲染赫渥特的图不能用坎泊的方法进行4—着色呢。
3、坎泊颜色交换技术的实质
赫渥特对坎泊的否定对不对，道底是坎泊错了，还是赫渥特错了，一个半世纪以来，没有人再去追问，也没有人再去进行研究。今天，我们就对这一历史进行一下重新评价。
首先看一下坎泊的颜色交换技术的实质及交换的原则。对一条用两种颜色交替着色的链中所有顶点的所着的颜色进行交换，这就是坎泊的颜色交换技术。通过交换，可以达到改变链中任何一个顶点的颜色的目的。该技术用在从5—轮的轮沿顶点中空出颜色给待着色顶点着上时，交换的原则是：所交换的链对于5—轮的对角顶点来说必须是不连通的链，而赫渥特在进行了一次交换后的第二次交换却是一条连通的色链，当然是空不出颜色给待着色顶点的。赫渥特虽然违反了交换原则，但坎泊对这一错误并没有指出，所以说坎泊当时对他的交换技术也是研究得不深不透的。于是也就产生了坎泊承认“弄错了”的历史事实。由于这一原因，我才认为坎泊与赫渥特当时并没有分岐，认为他们两人的认识是一致的。如果坎泊当时能直接指出赫渥特交换的是一条不可空出颜色的链，是违背了交换的原则的，那么，有可能当时就使问题得到解决，也不会产生赫渥特否定坎泊证明的错误事实。坎泊的颜色交换技术错了没有呢，没错，直到现在我们给图着色时还在使用着，阿贝尔的所谓“证明”也是根据这一思想进行的，就连赫渥特当年证明所谓的“五色定理”也用的是坎泊的颜色交换技术。直正错了的不是坎泊而是赫渥特，因为他在交换时违背了科学的交换的原则。但坎泊也没有指出这一点，他也有不可推卸的责任。
4、灵活的运用坎泊的颜色交换技术
赫渥特对他的图的着色主要是想从BAB型构形中同时移去两个同色B，他在进行第一次B—D链的交换后，的确也移去了一个B，但在第一次交换后却又形成了另一个B到其对角顶点的连通的B—C链，当然第二次交换B—C链是没有用的，也不可能再移去第二个B。那么，既然不能同时移去两个B，可不可以只先移去一个B，再看可否从新形成的DCD型构形的图中能不能同时移去两个同色D。当从新形成的DCD型构形的图中左边一个D色顶点进行了D—A链的交换后，右边一个D色顶点到其对角顶点并没有形成新的D—B连通连，这样就可以从该顶点起交换D—B链，同时移去两个D给待着色顶点着上（这里就不画图了，读者可以自已找赫渥特图着一着试试看）。但赫渥特与坎泊都没有这样想，这样做，而只是一味的想同时移去两个B，这不是显得有点太的死板了吗。一九九二年米勒和二○一○年张彧典对赫渥特的着色就都是用的这种方法，他们把这种方法叫做“逆时针赫渥特颠倒”，“颠倒”者，交换也，实际上还是在施行坎泊有颜色交换技术。“逆时针”说的是“颠倒”进行的方向是先从构形左边的同色顶点（即BAB型或DCD型中左边的B顶点或D顶点）开始。
雷明与懂德周对赫渥特图的着色则是从另一个角度去施行坎泊的颜色交换技术的。既然连通链不能进行交换，他们的目的都是想把已连通的两条链断开，使之变成不连通的色链。赫渥特图中A—C和A—D链都是连通的，从两链的共同起点或相交叉的顶点开始交换A—B链，就可以使两条连通的链都断开。然后再施行一次别的链的交换就可以空出图中已用过的四种颜色之一给待着色顶点了。雷明把这一方法叫做“断链法”。
对于米勒图的着色，雷明与张彧典的方法其实都是相同的，都是从两连通链的非相交顶点进行的交换，张彧典只是对直链的C—D链进行了交换，而雷明则不光是对C—D直链进行了交换，而且也对C—D环链进行了交换，都能达到使A—C和A—D链“断链”的目的。
雷  明
二○一五年三月八日于长安

注：此文已于二○一五上三月八日在《中国博士网》发表过，网址是：