四色猜测的证明方法是多种多样的

雷明85639720

四色猜测的证明方法是多种多样的
——回复82615471的“十批评”之二
雷  明
（二○一五年三月十七日）

我的上一篇博文《用赫渥特的地图着色公式道底能否证明四色猜测》已经回答了被82615471否定了的十种证明四色猜测方法中的一种——“用亏格 n = 0 时，Heawood 着色公式的着色值不大于 4 证明的！”，说明该方法是可以证明四色猜测的。在这一篇博文中将一并回答被82615471否定的其他多个证明四色猜测的方法，并简述其证明四色猜测的原理。
1、若极大图能4—着色，则任意平面图也是可以4—着色的，5—轮构形也是可约的
82615471在“说明”其第五第、六条批评“（5）用第 n+1 点与有 n 个点的极大平面图的 3 个点相连接证明的！（6）用平面图的最外环的各面最多只着3 种色证明的！”时说：“第 5，6 种证明方法，不能成立的原因，在于： 在有 n 个面的平面图 G 为 4-面可着色，而外部面着第 4 色时，与外部面相邻的面所形成的环才最多着 3 色。在与第 n+1 面相邻的 G 的 5 个面（包括外部面）已着 4 色时，无法证明第 n+1 面也可着这 4 色中的某一色！（ 注意 ---- 这是运用“数学归纳法”，证明四色问题时，不可缺少的关键一步！）”。
极大图中的每一个面都是三边形面，在这样的面中增加一个顶点，只能与三个顶点相邻，该顶点着不同于其他三个顶点的第四种颜色就可以了，这样一步步下去，就得到极大图一定是可以4—着色的结论。极大图是平面图中顶点与边的关系最复杂的图，从基中去掉若干个顶点或边所得到的任意平面图的色数只会比极大图少，而不会增大。这也就证明了任何平面图的色数一定是不会大于4 的。这就是四色猜测。
后面的“说明”说的就是一个5—轮构形，坎泊的“漏洞”就出现有5—轮构形中他少考虑了一种有交叉链的情形，被赫渥特发现了。而现在很多的爱好者都能对赫渥特的图进行4—着色，且仍然用的是坎泊的颜色交换技术，还可以证明由赫渥特图简化而来的具有代表性的5—轮“九点形”构形是可约的，是能够4—着色的（请参见爱好者的诸多博文或贴子）。这不也就证明了四色猜测是正确的吗。
2、坎泊所创造的颜色交换技术是正确的
82615471在“说明”其第一、第二、第三条批评“（1）用 Kempe 的证明思路进行数学证明的！（2）用 Heawood 反例图可着 4 色证明的！（3）用 9 个“可约不可避免构形”证明的！”时说：“第 1，2，3 种证明方法，不能成立的原因，可见：B。韦斯特。图论导引（第 2 版）。第 204-207 页（同上）。（ 注意 ---- 设一个面 V 有 4，5 个相邻面的构形分别为 Q，R。构形 Q 中只有“非 H 图”（不类似 Heawood 图的），而构形 R 中除有“非 H 图”外，还有多种“类 H 图”（类似 Heawood 图的）。当年，Kempe 用同一种着色方法（必须如此），证明“非 H 图”的 V 面可着 4 色中的某一色，为可约的，但却不能同时证明多种“类 H 图”也是可约的！尽管能用另一种着色方法，证明 Heawood 图也可着 4 色！于是，人们才去另辟新径，见 N.Robertson 等人的文章 ）
首先，可以肯定坎泊的思想是没有错的，就连阿贝尔的所谓“证明”也是用了坎泊的思想的。现在人们对平面图的着色过程中还都是使用着坎泊所创造的颜色交换技术的。证明5—轮构形也离不开坎泊的颜色交换技术，就连赫渥特证明所谓的“五色定理”时使用的也是坎泊的颜色交换技术。
对于赫渥特的4—着色，只能说明这个图是可4—着色的，并不能说明四色猜测就得到了证明，也没有人去这样认为仅对之一个图4—着色成功就能说明四色猜测是正确的。但一对赫渥特图4—着色的的成功，也是一个很大的进步，因为已经是一个半世纪的长时间了，没有人能对该图进行4—着色。这一成功，也标志着坎泊的理论的胜利和赫渥特理论的失败。
你指出的韦斯特书的第204-207页，不就是说206页中的那个类赫渥特图的图不能4—着色吗。可韦斯特不能对其4—着色，不等于我们也就不能对其4—着色，这一点你是清楚的。
由于图的种类是多种多样的，也是有无穷多种的，所以我并不主张用着色的方法去证明四色猜测，因为你无法把所有的图都着色完。我是主张用不画图，不着色的方法证明四色猜测的。这一点我已经大到了自已的目标。
3、用不画图，不着色的方法也是可以证明四色猜测的
82615471在“说明”其第七、第八条批评“（7）用平面图可收缩或同化为 K（4）证明的！”时说：“（8）用极大平面图依次减少边数证明的！“第 7，8 种证明方法，不能成立的原因，在于： 即使平面图可以同化或收缩为 K（4），但是并没有严格证明，在这一过程中各阶段所余的各顶点必着 4 色！（ 注意 ---- 四色问题本身就是一个着色问题！如果不谈图的着色，如何去证明它呢？）”
可以证明任何平面图一定是可以同化为一个顶点小于等于4的完全图的（这就是原图的最小完全同态），对这个完全图顶点着色时的色数就等于其顶点数，即其色数也是小于等于4的。把这个已着色的完全图连同已着的颜色，再按原来同人时的逆向路线反回到原图时，这个图的着色就算完成了，图中所用的颜色总数一定也是不会大于4的。这怎么就不能算是对四色猜测的证明呢。
因为极大图能构4—着色，那么将其中的边数减少，所得到的任意平面图的色数也只会减少而绝不会再增大，这怎么也不能算是对四色猜测的证明呢。
任意亏格的图的最小完全同态的亏格一定是小于等于原图的亏格的，网上已有多篇文章，难道82615471和xyz-xyz你们是没有看到过吗。我现在再把证明重复如下：
首先可以肯定，任何一个图都可以同化为一个顶点数最小的完全图，这就是原图的最小完全同态。我们不仿先假设最小完全同态的亏格大于原图的亏格，采用反证明法进行证明。既然最小完全同态的亏格大于原图的亏格，那么它一定是不能嵌入到与原图同亏格的曲面上的。这一点是不可含乎的。所以说上面的这一假设是不可能成立的。即图的最小完全同态的亏格是不会大于原图的亏格的。因为同化过程本身就是在与原图同亏格的曲面上进行的，最小完全同态仍是画在原亏格曲面上的，且在最小完全同态中也没有出现交叉边，应该说该最小完全同态也是嵌入在该亏格曲面上的图。
比如，我们用橡皮筋结成一个亏格为n的图，同时也把该图嵌入一个与其亏格相同的曲面上，按照正确的同化方法进行同化，只要一出现平行边就把其中的一条剪掉，只留一条。直到最后图中既无不相邻顶点，又无平行边时，这个所剩的完全图就是原图的最小完全同态。
虽然最小完全同态的亏格是不会大于原图的亏格的，但是，原图所嵌入的曲面的亏格，是否就是该最小完全同态的亏格，还仍然不能确定。因为图的亏格是其所能嵌入的所有曲面的最小亏格，而原图所嵌入曲面的亏格不一定就是该最小完全同态所能嵌入的曲面的最小亏格。比如，K3,3图的最小完全同态是K2图，虽然K2图仍嵌入在亏格是1 的环面上，但1并不是K2图的亏格，K2图的亏格应是0。这也就是说K3,3图的最小完全同态的亏格也应是0。至少可以肯定，该最小完全同态的亏格一定是不会大于原图所能嵌入的曲面的亏格的，即最小完全同态的亏格一定是小于等于原图的亏格的。这与原假设的“最小完全同态的亏格大于原图的亏格”便设产生了矛盾，应否定假设。所以就有图的最小完全同态的亏格一定是小于等于原图的亏格的。
82615471在该条“说明”的最后不专门指出：“（ 注意 ---- 四色问题本身就是一个着色问题！如果不谈图的着色，如何去证明它呢？）”
我要问一下82615471和xyz-xyz两位先生，四色问题是一个着色问题就一定非得要用着色的办法去解决吗。你在前面指出的那三本书中的有关赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式的证明中，你看到一个图了吗，有没有着色呢。比平面更复杂的多阶曲面上图的着色不比对平面图的着色更复杂吗。复杂的东西证明都可以不画图，不着色，反而简单的东西证明时就非得要画图与着色吗。“不画图不着色”可不等于“不谈图的着色”，这是两个概念，不能混淆。“不画图，不着色”证明四色猜测可不是不谈着色，而是把图的色数与图的某些概念和参数紧密的联系起来。比如，图顶点着色的色数就等于其最小完全同态的顶点数等等。我们只要求出了任意图的最小完全同态的顶点数，不等于就知道了该图的色数了吗。求出了平面图的最小完全同态的顶点数的上界是不大于4 的，不就相当于证明了四色猜测是正确的吗。
4、我也来留给读者思考
还有第四、第十条批评“（4）用平面图的 5 个面不能彼此相邻证明的！（10）用转移换色法证明的！等等！”82615471没有给以“说明”，而说“（5）对于第 4，10 种证明方法，不能成立的原因，可留给大家思考！（ 以上看法，仅供参考，恕不再回复！）”，我的估计是82615471也不知道该两条不成立的原因是什么吧。你不“说明”，我也就不回复了吧。


雷  明
二○一五年三月十八日于长安

注：此文已于二○一五年三月十八日发表在《中国博士网》上，网址是：