用古典概型解概率题时，样本空间的取法不是唯一的

luyuanhong

    用古典概型解概率题时，样本空间的取法不是唯一的。只要能保证

每个样本点的概率相等，能解概率题，样本空间可以有多种不同的取法。

    下面举一个非常简单的例子：

    设袋中有两个红球和一个黄球，从中逐一将球取出，求黄球比红球先

取完的概率。

    我们可以有两种不同的解法：

（1）认为相同颜色的球之间是可以区别的，这样三个球都是可以区别的。

   我们将两个红球分别称为 A 球和 B 球，将一个黄球称为 C 球。

   将三个不同的球按照取出的次序排成一列，共有 3! = 6 种情况，所以

这时样本空间中共有 6 个概率相等的样本点：

      (ABC) ，(ACB) ，(BAC) ，(BCA) ，(CAB)，(CBA) 。

    其中，有 4 种情况是黄球比红球先取完：

     (ACB) ，(BCA) ，(CAB) ，(CBA) 。

    所以，黄球比红球先取完的概率是 4/6 = 2/3 。

（2）认为相同颜色的球之间是不可区别的。

    将两个无区别的红球和一个黄球，按照取出的次序排成一列，共有

    C(3,2) = 3!/(2!1!) = 3 种情况，所以这时样本空间中共有 3 个概率

相等的样本点：

    （红红黄），（红黄红），（黄红红）。

    其中，有 2 种情况是黄球比红球先取完：

     （红黄红），（黄红红）。

    所以，黄球比红球先取完的概率是 2/3 。

    从上面这个例子可以看出，只要能解决问题，样本空间的取法不是唯一的。

不同的取法可以得到相同的结果。一般我们总是取比较简单的一种。

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    在古典概型中，按照下列方法来求某个事件 A 的概率。

首先，建立一个包含事件 A 的样本空间 S ，要求 S 中只有有限个样本点，而且每一个样本点

必须概率相等。然后，计算出样本空间中的样本点总数 n(S) 和在事件 A 中的样本点数 n(A) 。

最后，用下列公式就可以算出事件 A 的概率

   P(A) = n(A)/n(S) 。

对于同一个问题，建立样本空间的方法不是唯一的，但是，这个计算概率的公式总是正确的。

为什么公式总是正确？还是用在我前面所举的例子来说明：

设袋中有两个红球和一个黄球，从中逐一将球取出，求黄球比红球先取完的概率。

（1）第一种做法，认为两个红球是有区别的，设样本空间为

   S={(ABC),(ACB),(BAC),(BCA),(CAB),(CBA)} , S 中的样本点数 n(S)=6 。

事件 A={黄球比红球先取完}={(ACB),(BCA),(CAB),(CBA)}，A 中样本点数 n(A)=4 。

所以，P(A) = n(A)/n(S) = 4/6 = 2/3 。

（2）第二种做法，认为两个红球是无区别的，设样本空间为

   S={（红红黄）,（红黄红）,（黄红红）} , S 中的样本点数 n(S)=3 。

事件 A={黄球比红球先取完}={（红黄红）,（黄红红）}，A 中样本点数 n(A)=2 。

所以，P(A) = n(A)/n(S) = 2/3 。

    两种方法得到的结果是一样的。为什么会这样？

    我们对比看一下两种做法样本空间中的样本点，就会发现，第二种做法中，

每一个样本点，都包含了第一种做法中的 2 个样本点：

（红红黄）={(ABC),BAC)}，（红黄红）={(ACB),(BCA)}，（黄红红）={(CAB),(CBA)}。

在第二种做法中，事件 A 中只有 2 个样本点，实际上，这 2 个样本点就包含了第一种

做法中的 4 个样本点。

   所以，两种做法实质上是一样的，不过是一种做法将一个样本点分成两个样本点，

另一种做法是将两个样本点合并成一个样本点。

   用公式 P(A)=n(A)/n(S) 计算时，若将一个样本点分成两个样本点，则分子分母都乘以 2 ，

若将两个样本点合并成一个样本点，则分子分母都除以 2 ，算出来的 P(A) 显然是一样的。