求证：与曲线 ｜xy｜=a（a＞0）的各支都相切的椭圆面积为定值

波斯猫猫

已知曲线C:｜xy｜=a（常数a＞0），
（1）求与C各支都相切的圆的面积；
（2）求证：与C各支都相切的椭圆的面积为定值。这个定值有何特性？

luyuanhong

波斯猫猫

已知曲线C:｜xy｜=a（常数a＞0），
（1）求与C各支都相切的圆的面积；
（2）求证：与C各支都相切的椭圆的面积为定值。这个定值有何特性？
用初等方法考虑：
（1）显然曲线C:｜xy｜=a（常数a＞0）由两组双曲线xy=±a（a＞0）四支组成，分布在四个象限,它们的对称轴是坐标轴及直线x±y=0，对称中心是坐标原点。设与C各支都相切的圆的方程为X＾2+y＾2=e，由｜xy｜=a消去y得
X＾2+a＾2/x＾2=e，即X＾4-ex＾2+ a＾2=0.
∴由相切的条件有e＾2=4 a＾2，即e=2a.故圆的面积s=πe=2πa。
（2）设与C各支都相切的椭圆的方程为X＾2/m+y＾2/n=1(m＞0，n＞0，m≠n)，由｜xy｜=a消去y得nX＾4-mnx＾2+m a＾2=0.
∴由相切的条件有mn=4a＾2.故椭圆的面积s=π√mn=π√4a＾2=2πa。
     这个定值为其离心率为零时与C各支都相切的圆的面积。