如何构造连续颠倒次数为n的构形 ——兼论5—轮构形4—着色时最多的颠倒次数

雷明85639720

如何构造连续颠倒次数为n的构形
——兼论5—轮构形4—着色时最多的颠倒次数
雷  明
(二○一八年八月二日)

由英国的米勒先生提出的、且由我国的张彧典先生进一步推广、发展的“连续颠倒”着色法，是给平面图5—轮构形4—着色的一种好方法。它可以不管着色对象是否是Ｈ—构形，也不管它是哪一类Ｈ—构形，只要是５—轮构形，就可以运用。而且最多不起过二十次颠倒，就可以空出颜色给待着色顶点着上。
所谓“颠倒”，实质上就是“转型交换”，颠倒一次，构形转化一个类型，构形的峰点转动一个角度（144度）。颠倒可以施行逆时针颠倒，也可以施行顺时针颠倒。“连续颠倒”就是在图没有转化成可以连续移去两个同色的K—构形之前，一直按一个方向对新转化的构形施行颠倒，直到构形转化成上述的K—构形，然后再施行两次空出颜色的交换，一个5—轮构形的4—着色就完成了。这里，连续颠倒的次数与空出颜色交换的次数的和，就是最多的颠倒次数n，或者叫最多的交换次数。
本文就根据已知H—构形的颠倒次数，来构造另一个颠倒次数是n（n＜20）的构形。并对5—轮构形最多的颠倒次数进行证明。
首先设一个H—构形的逆时针颠倒次数是X，顺时针颠倒次数是Y（如图1），在X点和Y点的图，已经是空出了颜色给待着色顶点着上的图。在X－3点和Y－3点，以及该两点之间和各点的图，都是H—构形。而在X－2点和Y－2点则是含有两条连通且交叉的链的、但可以连续移去两个同色的K—构形，而X－1点和Y－1点则只是含有一条连通链的一般的K—构形。

1、构造连续颠倒次数为n的构形
1、1  构造一个颠倒次数是3≤n≤X＋Y－3的H—构形
在图1中从X－3点或从Y－3点开始，向左或向右，逐个的把各点对应的颠倒后的图进行整理：把颜色进行调换，使图成为BAB型5—轮构形，并把构形的峰点A调整到5—轮的最上面一个顶点。这样调整后的各图，就是颠倒次数分别是3≤n≤X＋Y－3的H—构形。这些构形就是：分别施行顺时针颠倒或逆时针颠倒，最多只需要颠倒3≤n≤X＋Y－3次，就可以4—着色的H—构形。如图1中的n＝3，n＝4，……，n＝X＋Y－3各点所对应的调整后的图。
1、2  构造一个颠倒次数是2≤n≤X＋Y－2的可以连续移去两个同色的K—构形
在图1中从X－2点或从Y－2点开始，向左或向右，逐个的把各点对应的颠倒后的图进行整理：把颜色进行调换，使图成为BAB型5—轮构形，并把构形的峰点A调整到5—轮的最上面一个顶点。这样调整后的各图，就是颠倒次数分别是2≤n≤X＋Y－2的可以连续移去两个同色的K—构形。这些构形就是：分别施行顺时针颠倒或逆时针颠倒，最多只需要颠倒2≤n≤X＋Y－2次，就可以4—着色的K—构形。如图1中的n＝2，n＝3，n＝4，……，n＝X＋Y－3，n＝X＋Y－2各点所对应的调整后的图。
1、3  构造一个颠倒次数是1≤n≤X＋Y－1的一般的K—构形
在图1中从X－1点或从Y－1点开始，向左或向右，逐个的把各点对应的颠倒后的图进行整理：把颜色进行调换，使图成为BAB型5—轮构形，并把构形的峰点A调整到5—轮的最上面一个顶点。这样调整后的各图，就是颠倒次数分别是1≤n≤X＋Y－1的一般5—轮K—构形。这些构形就是：分别施行顺时针颠倒或逆时针颠倒，最多只需要颠倒1≤n≤X＋Y－1次，就可以4—着色的K—构形。如图1中的n＝1，n＝2，n＝3，n＝4，……，n＝X＋Y－3，n＝X＋Y－2，n＝X＋Y－1各点所对应的调整后的图。
我以前所构造出的颠倒十次和颠倒十六次才可给待着色顶点空出颜色的构形，都是在张彧典先生已构造出的逆时针颠倒八次和逆时针颠倒十四次的构形的基础上构造出来的。我只是对该两个构形分别作了顺时针颠倒后，再按上面的作法得到的。由于要画很多的图，还要调整颜色，又要把峰点改在5—轮的最上面的顶点，很麻烦，所以这里也就不再画图了，有兴趣的朋友，可以自已自作一作。
2、5—轮构形4—着色时最多的颠倒次数
从对敢峰先生的终极图看，连续颠倒二十次后，构形出现了大循环。不但构形类型回到了BAB形，而且各顶点的着色，以及峰点A的位置也都回到了原处。所以说二十次转型是一个大的循环，如果一个构形通过连续颠倒，可以4—着色时，其颠倒次数一定是在二十次之内，即第十九次交换就一定要空出颜色给待着色顶点着上。
这样就有图1中的X＜20，Y＜20，也就有X＋Y＜20。也就有X＋Y－3＜17，这就说明了任何一个H—构形，最多只要颠倒16次，就可以实现4—着色。同样的也有X＋Y－2＜18和X＋Y－1＜19。这也就说明了任何一个可以连续移去两个同色的K—构形，最多只要颠倒17次，也可以实现4—着色；也说明了任何一个5—轮构形，最多只要颠倒18次，也一定可以实现4—着色。
总之，这都说明了任何一个5—构形着色时，颠倒的次数是不会超过二十次的。是一个有限的，把一个无限的5—轮构形的着色问题变成了一个有限的问题，这就说明任何5—轮构形都是可约的。当然也说明了四色猜测是正确的。
3、敢峰先生的终极图
也峰先生用了顺时针转的十六步大演绎（十六步顺时针转型交换），构造了他的终极图，这个终极图虽然是一个无限大循环的构形，但他也有其独特的解决办法。其解决时，首先需要对环形的A—B链内、外的任一条C—D链进行一次断链交换，使图变成可以连续移去两个同色B的K—构形，然后再进行两次空出颜色B的交换，共三次次换。所以从敢峰先生开始构造终极图起，到给终极图进行了4—着色，总共用了十九次交换，仍不大于二十次。所以就更有理由说：平面图的任何构形着色时，交换的总次数一定不会大于二十次。


雷  明
二○一八年八月二日于长安

    注：

雷明85639720

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