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发表于 2022-6-29 21:26
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本帖最后由 任在深 于 2022-6-30 10:19 编辑
延长圆内接五边形各边成五角星,证明:从五边形顶点向五个三角形外心连线所作垂线共点
证:
我们只需证明A,A1共点那么其它B,B1;C,C1;D,D1,E,E1同理也就得到证明了。
如图.首先假设AA1,BB1,CC1,DD1,EE1共点。
那么在五角星的等腰三角形PAB中,连接O1,P,
因此,∠AO1B=2∠APB;∠BO1P=2∠BAP;∠AO1P=2∠ABP,
由角外心的定义可知O1是三角形PAB的外心。
当仅当A,A1共点,B,B1共点该三角形外心O1必然在三角形PAB中的该点,否则外心必将不在该三角形内!
反之则证明了AA1;BB1;CC1;DD1;EE1必共点!
証毕。
此题看似吓人,实际很简单! |
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