证明：任何一个有理数都能写成 3 个有理数的立方和

王守恩

malingxiao1984 发表于 2018-8-21 11:59
就是我在2楼发的那个恒等式，我是搬运，不是我发现的

蔡老弟！挤点时间，也看看别人的，进步会更快！

王守恩

任何一个有理数 a 都能写成 3 个有理数的立方和。


\(证:\ \ a=\big(\frac{a^3-3^6}{3^2a^2+3^4a+3^6}\big)^3+\big(\frac{-a^3+3^5a+3^6}{3^2a^2+3^4a+3^6}\big)^3+\big(\frac{3^3a^2+3^5a}{3^2a^2+3^4a+3^6}\big)^3\)

王守恩

来个类似的！——谢谢网友 elim！谢谢网友 风花飘飘！——【不服来战】总是存在n^3个连续整数的立方和等于一个立方数

\((x+1)^3+\cdots+(x+n^3)^3=\big(\frac{(n-1)n(n+1)(n^2+2)}{6}\big)^3,\ \ 其中\  x=\frac{n^4-3n^3-2n^2-2}{6}\)

x = {5, 33, 212, 405, 1133, 1734, 3605, 4965, 8789, 11367, 18170, 22533, 33557, 40380, 57083, 67149, 91205, 105405, 138704}
Table[k = Floor[(3 n + 5)/2]; (k^4 - 3 k^3 - 2 k^2 - 2)/6, {n, 19}]

{{5, 180, 4}, {33, 540, 5}, {212, 2856, 7}, {405, 5544, 8}, {1133, 16830, 10}, {1734, 27060, 11}, {3605, 62244, 13}, {4965, 90090, 14}, {8789, 175440, 16}, {11367, 237456, 17}, {18170, 413820, 19}}
Table[n = Floor[(3 k + 5)/2]; x = (n^4 - 3 n^3 - 2 n^2 - 2)/6; y = (n - 1) n (n + 1) (n^2 + 2)/6; {x, y, n}, {k, 11}]

\[\displaystyle\sum_{k=1}^{n^3}(x+k)^3=y^3\]