数学存在吗？

老虎lh

数学是个什么东西？

数学至今都没有定义。但对数学的说明却有很多、对数学这个词的应用也有很多。这些说明和应用大概说了两个意思。第一个意思是说，数学是研究数量、结构、变化、空间、数学本身规律等的一门学科、科学、理论、纯粹数学。第二个意思是说，数学是一种形式科学、是学习研究的工具、是一种抽象模型、是一种符号系统、是一种数学模型、是数学语言、是应用数学等。归纳地说，数学属于学，就像哲学、物理学属于学一样，并且数学属于术，就像日常语言、密电码一样属于术。而学与术完全是两码事。所以，我提出这样一个问题：数学要么属于学、要么属于术，或者说，数学是个什么东西。为了回答这个问题，我做了以下研究。

1.        皮亚诺公理是个什么东西？
皮亚诺公理是数学家皮亚诺提出的关于自然数的公理系统。所以可以这么说，皮亚诺公理就是对自然数的公理化的结果。我不考虑皮亚诺是否自认为他提出的是公理的这个问题。
皮亚诺公理预设了自然数里有公理。所有的公理包于命题。所以，皮亚诺公理也预设了自然数里有命题。我们应该知道，语义的真假无法定义。这是已证明的。因此，命题也无法定义，从而公理也无法定义。所以，这里就存在一个问题：我们凭什么说皮亚诺提出的关于自然数的东西属于公理。
在此之前，没有人提出这个问题，也没有人回答这个问题。那是因为这个问题不重要吗？还是因为我们有意回避这个问题？
其实皮亚诺公理还有个名字是皮亚诺公式。如果说皮亚诺公理属于学，那么皮亚诺公式就应该属于术。否则，就不应该有两个名字。
如果公式与式有区别，那么我们凭什么说皮亚诺提出的关于自然数的东西属于公式而不属于式？如果这里的公式具有物理学的速度公式、自由落体公式的公式的含义，那么这里的公式其实就是公理。如果这里的公式不具有物理学的速度公式、自由落体公式的公式的含义，那么这里的公式就属于术，那么我们也有权利说皮亚诺式。
问题是我们说皮亚诺式有意义吗？答案是有意义。原因是，说皮亚诺式消除了公理、说皮亚诺式给了我们从术的角度研究皮亚诺关于自然数的东西的理由。
有人说，根据皮亚诺公理可以建立皮亚诺算术系统。也就是说，皮亚诺算术系统是皮亚诺公理的结果。这就颠倒了先有算术系统、后有皮亚诺公理的事实，如果皮亚诺公理存在的话。我的意思是说，这就颠倒了先有算术、后有皮亚诺式的事实。
这里要把算术与算术系统区别开来。算术属于术，比如中国算术、拉丁文的数和数数的技术。算术系统属于学。你们不觉得把算术变成算术系统所用的公理化的方法就像点金术吗？如果以前的算术不属于算术系统，那么以前的算术就不存在皮亚诺公理，那么皮亚诺创造了关于自然数的公理。难道人能创造公理吗？如果以前的算术属于算术系统，那么以前的算术就存在皮亚诺公理，那么皮亚诺发现了关于自然数的皮亚诺公理。但皮亚诺公理是否存在还是个问题，所以算术系统的存在也还是个问题。这两个问题的答案取决于以后的研究，我现在也不知道。
我认为皮亚诺公理还存在以下问题。
皮亚诺公理没有给出自然数的定义、没有给出0、1、2的定义。所以实际给出的是自然数的符号。对于没有定义的东西，说的人、听的人都不可能知道这东西到底是什么。从逻辑的角度来看，没有定义的东西就无法确定其逻辑含义。比如，我们无法根据皮亚诺公理确定1属于自然数，而通过数字来确定1属于自然数是自欺欺人。不是吗？所以皮亚诺公理的公理这个词只是公理这个词的形式罢了，即滥用了公理这个词，根本就没有公理的任何东西。有吗？说说看。
皮亚诺公理的后继数的后继具有时空性。如果自然数具有时空性，那么自然数就会随着时空的变化而变化，那么自然数就不可能成为人类通用的东西。而事实是人类有共同的自然数的符号的后继关系。所以皮亚诺公理实际给出的是自然数的符号的后继关系。因为没有关于自然数的定义、0、1、2等的定义，所以皮亚诺在这里没法用“后继”之外的东西来代替“后继”。这说明皮亚诺提出皮亚诺公理时，预设了自然数里有公理，而实际的提出则是根据自然数的符号。这不光是皮亚诺一个人的问题，事实上很多人都是在我一开始提到的数学的两个意义上对待数学。我至今都没有弄明白搞数学的人为什么非要这样的理由。
“每一个确定的自然数a，都具有确定的后继数a'”的“确定的”是什么意思？怎样确定一个自然数？如果我们不知道任何一个自然数的定义，那么我们如何知道任何一个确定的自然数呢？用什么来确定一个自然数呢？用自然数的符号来确定吗？实际上我们是通过自然数的符号来确定“自然数a”的。因为我们根本就不知道自然数a和后继数a'说的是什么、是什么后继关系。通过形式来表示内容没问题。但是通过形式来表示内容却不知道内容是什么，而且几千年了都不知道内容是什么，而且还一直都相信知道内容，就是是问题啦。这种问题就是自欺欺人。不是吗？说说看。
皮亚诺公理的0是自然数这个公理因人而异。如果张三只考虑正整数，那么公理中的0只要换成1、自然数只要换成正整数就可以了。这样，我们就得到了皮亚诺公理一撇。同理，如果李四只考虑从-99开始到0的整数和正整数，那么公理中的0只要换成-99、自然数只要换成从-99开始到0的整数和正整数就可以了。这样，我们就得到了皮亚诺公理二撇。如果这样继续下去，那么我们就可以发现n撇个皮亚诺公理，不是吗？其实我们还可以发现一个负整数的皮亚诺公理，而且正整数的皮亚诺公理与负整数的皮亚诺公理碰巧是对称的。
哪为什么皮亚诺没提出这些公理呢？哪为什么皮亚诺之后的数学家们也没有提出这些公理呢？是因为整数的公理太多了吗？是因为有一个皮亚诺公理就够用了吗？如果是的话，哪啥时候数学的公理这么不值钱啦？如果整数的皮亚诺公理不值钱，那还可以提出有理数的皮亚诺公理啊、实数的皮亚诺公理啊、虚数的皮亚诺公理啊。事实是没有人做这种事。这是为什么？说说看。
由以上的分析可以得出以下结论：皮亚诺公理不属于公理。皮亚诺公理属于人类构造自然数字的规则。皮亚诺提出的是关于自然数字的构造规则。皮亚诺发现了人类构造自然数字的规则。

2.        数学的二进制是个什么东西？
莱布尼茨提出了数学的二进制。据说他的二进制除了表示数以外还表示他的哲学与宗教观念，0表示空间、1表示上帝。如果莱布尼茨提出的二进制属于数学，那么哲学与宗教就属于数学。如果哲学与宗教属于数学，那还有什么不能属于数学呢、那同一个数字就可以表示了不同的东西、那不同的人就会对同一个数字有不同的理解？这与数学没有定义正好相符。因此，我可以把0理解为女性、把1理解为男性。因为这很形象，容易学习，便于记忆。
二进制与十进制、二十进制、六十进制都是构造数字的方法。是以2为节点还是以10为节点来构造数字，是人为规定的。也就是说，这些都是构造数字的不同的规则。其实我们还可以以17、111等为节点来构造数字。不是吗？
二进制的0、1对于计算机很好用，而不必有任何莱布尼茨之前的任何一种关于0、1的数的东西。不是吗？就连莱布尼茨也没想到他的二进制的0、1的计算机的用法，对吧？如果莱布尼茨认为他的二进制属于符号系统，那么他就有理由想到凡是结构与二进制符号系统相同的事物都可以用二进制表示，而不只是表示数、空间、上帝。
所以，二进制属于构造数字的规则。

3.0是个什么东西？
2002年国际数学协会规定0为偶数。我国2004年也规定0为偶数。如果人可以规定0为偶数，那么0为偶数就属于数学符号的规则。“零为偶数”等于“零这个数字属于偶数字”。零这个数字属于偶数字属于数学符号的规则。
如果你把0理解为数学的没有，那么你就无法理解0的偶的语义（2n的语义）。老师说“0是偶数”。学生就会说“0都没有，偶在哪里”。但是，0做为偶数字的地位却与2、4、6做为偶数字的地位是相等的，而且0一点也不比2、4、6做为偶数字的地位低、或难以理解，因为都是规则的规定，对吧？初学者对0属于偶数字的理解不存在任何问题。因为偶数字的偶与感觉、表象、经验、抽象没有任何关系。对于偶数字0的应用只要符合2n的规则就可以啦。这与打扑克的规则是相通的。扑克牌的一种打法规定3最大、4最小。任何人都理解这个规则、都会使用这个规则，而且对3最大、4最小不需要做任何其它的解释。
既然0属于数学符号，那0就可以应用于各种事物，既可以表示有、也可以表示没有，只要被表示的事物之间的关系与数学符号之间的关系相符就可以。比如：-1℃、0℃、1℃之间的关系与数学语言的-1、0、1之间的关系相符。这样，数学语言老师就可以堂堂正正地清清楚楚地告诉学生：0属于数学语言，所以0既可以表示有、也可以表示没有。而不是像现在的数学教材、数学老师那样回避这个问题。

4.函数是个什么东西？
初中数学的函数定义用了自变量与因变量这两个词。所以这个函数的定义是比喻，根本就不是定义。因为用量来定义函数违反定义的规则：因变量本身就没有定义。还因为数没法定义，所以函数也没法定义。但函数式（属于数学符号）存在，比如f(x)，2x。
我问过很多学生，y=f(x)的y是什么？他们说y是x的函数。我再问x是什么？他们说x是函数y的自变量。我再问他们f(x)是什么？他们就没有一个人能回答啦。知道为什么吗？因为老师从没教过这个问题、因为学生从没想过这个问题。难道这个问题不重要吗？
如果说f(x)也是x的函数，那么让y=f(x)的唯一解释就是说y=f(x)的y与f(x)这两个式（形式）相等。
如果说f(x)是函数y的定义项，那么f(x)并不能定义函数y。因为f(x)本身就没有定义。
如果y=f(x)属于数学等式，那么就可以有f(x)=y。但是我们从没见过这种数学等式。
如果y=f(x)属于数学符号，那么就可以有y与f(x)相等的唯一解释，而且规定y=f(x)属于数学符号的规则并且f(x)=y不属于数学符号的规则。
y=f(x)这个式用=这个式把y与f(x)这两个式组合在一起，建立了y与f(x)的x的形式关系。而这个形式关系有利于数学符号的应用。不是吗？
当函数式去掉了函数的自变量、因变量、因果关系、等于、比喻、举例说明等这些说明的东西后，函数式的学习就不会成为教学难点。不对吗？
其它的函数定义也因为数没有定义而成为一种说明。所以没人知道函数是什么。但我们都知道函数式。
函数式之外的任何的函数的东西的出现，都因为我们假设数属于学、但我们却从未给出数是什么的答案，而产生的函数教学上的一些说明。如果学生以为自己学到了函数的定义，那么这些说明实际上就造成了欺骗、并且这种欺骗与教学的目的无关，那么说这种函数教学是自欺欺人也就不为过。
而这种关于数学的类似于函数的说明的自欺欺人，比如数学的公理、证明、定理、定义等等，最迟起源于欧洲文艺复兴，比如皮亚诺式的公理化、实数与虚数的几何的比喻。而到今天这种自欺欺人也没有得到遏制。这种类似于函数的说明的其它的数学说明最迟从毕达哥拉斯学派开始。每当出现新数字，就有数学家拒绝承认。今天，数学家们依然如此，比如我构造的加法与乘法的分离规则。

5.加法结合律是个什么东西？


6.加法是个什么东西？
加法是满足以下两种规则的运算:Ⅰ∀m∈N，0+m=m;Ⅱ∀m，n∈N，n’+m=(n+m)’。加法的这个定义其实就是我们为数学的符号构造的两个演算规则。不是吗？这个定义是数学里滥用定义这个词的又一个例子。
因为m、N、0、+、=没有定义，所以n’、(n+m)’也没有定义，所以加法的规则就是把这些符号组合起来的规则。不是吗？说说看。

7.二次方程是个什么东西？
二次方程指的是形如ax2+bx+c=0的等式，其中字母x是变量，字母a、b、c称为系数，它们表示假定已知的数。代替x后使方程成立的一个或多个数称为该方程的根，当找到一个或多个根时，我们就说解出了这个方程。
这是二次方程的一般描述。
这个描述的第一个问题等于使用是这个有歧义的词。不用这个有歧义的词可以吗？完全可以。
这个描述的第二个问题等于没有把二次方程与二次方程式区分开来。二次方程的变量、系数没有定义，进而该方程的根也没定义，所以二次方程也没有定义。因此，这个描述的“二次方程”、“方程”都应该改成“二次方程式”、“方程式”。
这个描述的第三个问题等于变量与系数这两个词的使用问题。如果变量与系数都属于数，那么为什么不把“变量”改成“变数”？如果变量与系数都属于量，那么为什么不把“系数”改成“系量”？如果变量有单位，那么ax2、bx、c、0就有不同的所述（语义），那么ax2、bx、c如何相加？哪个变量没有单位呢？这里还其它有相关的问题可以提出。
这个描述的第四个问题等于在“代替x后使方程成立的一个或多个数称为该方程的根”里把变量x变成了一个或多个数。这就跟变魔术一样。用变量来说明二次方程的x的应用没问题，但前提是必须先要对二次方程的x有个准确的认识。否则，就可以提问：x到底是变量还是一个或多个数。
这个描述的第五个问题等于我们由变量、系数得到的结果却是根。根好像既是个数又是个量。这就是含糊其辞。我们不是一直都在标榜数学的准确性吗？
这种二次方程的一般描述之所以存在这些问题，是因为被描述的东西没有一个有定义而且又假定每一个东西都是数学的，所以无法给出二次方程的定义。因此就用比喻的方法来说明二次方程，比如变量、系数、根这些比喻。这种说明缩小了二次方程式的用法。二次方程式的x只可以是量吗？这有点不得已而为之的意思。但这种不得已是我们的那个假设所造成的、是自找的。
下面是我给出的二次方程式的一个描述。
二次方程式等于ax2+bx+c=0。X属于未知数字。A、b、c属于已知的数字。A、b、c属于二次方程式的系数字。如果x=d这个数字，并且ad2+bd+c=0，那么d这个数字属于ax2+bx+c=0的x。找到d这个数字的演算等于解二次方程式。
我们还可以构造下面这个句子：3x2+5x+8=0∈ ax2+bx+c=0。
从找到d这个数字的演算的那两个公式x=(-b)/(2a)+（√(b2-4ac)）/(2a)和x=(-b)/(2a)-（√(b2-4ac)）/(2a)可以看出，等号的左边属于变量、等号的右边属于数。提问：变量等于数吗？如果等号两边的都属于数字，那么就不存在这个问题啦。

8.用逻辑定义数学的东西可以吗？
哲学家、现代逻辑创始人弗雷格用逻辑推出（定义）数学的尝试因“罗素悖论”而失败了。哲学家、数学家罗素（和怀特海）用逻辑（相容的形式系统）展示（定义）基础数学的努力也没有完全成功（《数学原理》三大卷出版后就放弃了）。放弃的原因可能是知道了哥德尔的不完全性定理。
哥德尔给出了不完全性定理。哥德尔发现在任何数学系统中都存在不能证明是真又不能证明是假的命题，他证明了这对于算术也成立。因为已证明语义的真假无法定义，所以哥德尔所说的真假其实就是形式的真假。因此，哥德尔其实是说在任何数学的符号系统中都存在不能演算出来的（形式）句子。所以，用任何形式语言给出数学的东西的定义都是不可能的。所以，数学的东西不存在于形式语言中。
在哥德尔给出不完全性定理的时候，哥德尔就应该宣布数学不存在。但是他却没有，为什么？因为他没有把数学与数学的符号系统区分开来。他假设了数学公理、定理、命题的存在。这里我没有考虑中文翻译的准确性。
我们已经知道，语义的真假无法定义，所以数学命题也就无法定义。而且数学的每一个“命题”都没有命题（句子的含义），有的只是比喻、说明、例子等以及与这些比喻、说明、例子等相对的被我们忽视的反例。这种被我们忽视的反例很多、多到超出我们的想象。有反例的“命题”当然无法给出命题（句子的含义）。
所以哥德尔说任何数学系统中都存在不能证明是真又不能证明是假的命题的时候并没有意识到自己的错误：他的假设不存在。去除哥德尔这句话的这个错误的假设之后，我们就得到这样一句话：任何数学的符号系统中都存在不能演算出的句子。
既然数学命题不存在，并且所有的数学公理、定理包于数学命题，那么数学公理、定理也不存在，那么由皮亚诺公理推出的属于数学的一阶算术系统也不存在，那么存在的就只有数学的一阶算术的符号系统了。
同理，既然数学命题不存在并且所有的数学公理、定理包于数学命题，那么数学公理、定理也不存在，那么数学系统也不存在，那么存在的就只有数学的符号系统了。
说句题外话，如果我们可以构造一个非哥德尔的形式系统，那么我们就有可能构造一个完全的非哥德尔的形式系统。

9.数学系统不存在的其它理由。
物理学可以通过实验来证实用理论构造的信息是真实的还是假虚的从而说明该理论是真的还是假的。
1590年，伽利略在比萨斜塔上做了“两个铁球同时落地”的实验，得出了重量不同的两个铁球同时下落的结论，从此推翻了亚里士多德“物体下落速度和重量成比例”的学说，纠正了这个持续了1900多年之久的错误结论。
"以太论"是经典力学中曾经占统治地位几百年的一个观点和基石，后来被迈克尔孙-莫雷实验证明其存在的实验的反向结论而被戏剧性地否定。
通过这两个实验，人们就淘汰了这两个理论。但是我们却不能采用两样的方法来淘汰数学系统。知道为什么吗？因为数学系统压根就没有什么像物理那样的学说、理论，有的只是强加给数学的符号系统的公理、定理、证明、定义、比喻等没有内容的词语罢了。比如，连0是什么都没有确定。
如果你可以说0是自然数是公理，那么我就可以说扑克牌里的3最大是公理，那么我们就可以创造任何公理，那么，小学数学就有这样的找规律的题：依次排列五个图形，再在图形下方依次排列四个数字，让学生找出第五个图形下面的数字。这是找规则。不是吗？说说看。

人类有构造规则的能力。人类构造了有规则的语言、城市、交通、网络、象棋等等。那承认人构造了有规则的数学的符号系统有什么难的？要知道，这种构造属于发明创造，比数学的发现的地位要高得多。数学家是发现家、是说不清道不明的数学家。数学语言家是发明家、是说得清道得明的数学语言家。顺便说一下，我构造了逻辑汉语。逻辑汉语为学者提供了做学问的工具。没有金刚钻怎么做瓷器活？
人类有使用规则的能力。人类社会需要规则。因为规则至少可以提高人类社会的各种活动的效率。数学的符号系统是人类大脑活动的通用规则（方式）、是人类的文化。这种文化的作用小到日常交易的斤斤计较、大到爱因斯坦的相对论的构造、把全人类连结起来的互联网。互联网已经证实“万物皆数字”。

三角形的内角和等于180度是欧几里德几何的一个定理。虽然这个定理有公理、有证明，但是用爱因斯坦的相对论来看，这个定理其实就是个规则，因为空间根本就没有平面。所以说，这个定理就是欧几里德凭感觉构造出来的一个规则、与现实空间无关。虽然两千多年来的实践都证实了这个定理具有可靠性，但这种可靠性依然不能代替逻辑的必然性。所以这种可靠性不是逻辑的、而是观念的。把观念的东西当成逻辑的东西来用，是会出问题的。我是说，把经验的观念当成逻辑的定理来对待，是错误的。因为经验的观念与逻辑的定理是完全不同的两码事。比如，如果爱因斯坦知道坚信上帝不会掷色子这个信念的可靠性是经验的，那么他就不会浪费他的余生，那么今天的物理学也许会是另外一个样子。现实生活中的例子更多。比如，所有的天鹅是白的的可靠性是经验的，但许多逻辑书的作者把这个句子当成真命题，结果后来却发现了黑天鹅。其实，这个句子只是个假设，与逻辑的真假无关、与逻辑的必然性无关。
欧几里德几何不存在，存在的只是欧几里德几何的符号系统。得到这个结论的方法与得到8.的结论的方法相同。所以不再赘述。

数学没有定义，我们就不知道数学是什么，也不知道哪些东西属于数学、哪些东西属于数。比如，我们无法判定姚明是否属于数。我可以说姚明的出生时的年月日时分秒毫秒微秒就是姚明所述的一个实数，而且这个实数与时间轴的一个点对应。用时间轴的一个点来比喻姚明这个实数要比实数轴的一个点来比喻姚明这个实数要更有说服力，不是吗？这两个轴除了名字不同外还有什么不同？
也许有人说这个例子不恰当，因为“姚明”不是个数字，所以姚明不个数。但是用什么符号表示所谓的数却是人为的。我们不是也用甲乙丙丁来表示所谓的数吗？我们不是用one、一、食指来表示所谓的数1吗？我们不是用各种声音来表示所谓的数1吗？
其实，我还可以说姚明的出生的年月日时分秒毫秒微秒加上姚明家房子的中国的区号上海的区号街道的编号经纬度海拔高度就是姚明所述的一个虚数，而且这个虚数与时空平面的一个点对应。用时空平面的一个点来比喻姚明这个虚数要比复平面的一个点来比喻姚明这个虚数要更有说服力，不是吗？
如果有人说并不是所有的概念都有定义，那么我就有权力说我不知道你说的没有定义的数学是什么、并且问你“你知道自己所说的没有定义的数学是什么吗”。也许有人会拿出数学词典说“这就是数学”。对此我要说，把数学词典改成数学符号法典一点都没问题，反正那些数学符号都没有定义，有的只是例子、几何量的比喻、物理量的比喻等。不是吗？

10.一个推论。
任何公理都不存在，存在的只是假设。
光速不变不是公理、而是假设，就像所有的天鹅是白的不是真命题而是假设一样。爱因斯坦假设光速不变，然后构造了相对论。
说句题外话。我假设光速是变化的，因为光与黑洞的关系不同于光与非黑洞的关系。光与非黑洞的关系能使光的速率变化的性质显现出来。这里，我的假设是关系决定关系者显现哪些性质。简单说就是，关系决定显性。比如，光与不同仪器的关系显现了或波或粒子的不同性质。再比如，达尔文雀与食物的关系决定的不同性质（种类）的雀。

　　11.数学是怎么来的？
你知道数学是怎么来的吗？是欧洲人瞎编的，是欧洲的哲学家、数学家瞎编的。
从古希腊人到现代的欧洲人一直都在编数学――一直在研究数的含义：数是什么、数的本质是什么。从毕达哥拉斯学派的“万物皆数”到罗素宣称数学是这样一门学科“我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确”，都一直在建立数学理论，但直到今天都没有成功。
你知道不成功的原因是什么吗？因为欧洲人确认数学是什么的思维方式存在确认偏误。确认偏误是一种非常普遍的偏误。这种偏误让我们倾向于搜集信息（这里是指搜集、发现、构造所谓的数学的东西，比如数的定义、公理、定理、结合律、结构、比喻、解释等等）来支持我们早已相信的想法（比如人肯定能发现哲学意义上的数学是什么的想法）。确认偏误可以轻易让人们忽略眼前的证据（比如本文提出的证据）。
把活动与活动的结果严格地区分开来是必要的。数学的符号系统的构造活动与数学的符号系统是完全不同的两回事。也就是说，数学的符号系统的构造活动与数学的符号系统具有完全不同的性质。数学的符号系统属于数学的符号系统的构造活动的结果。数学的符号系统这个结果一旦产生就与数学的符号系统的构造活动的目的、方法（比如抽象的方法）、性质、问“数是什么”这样的问题等等都没有任何关系了。数学的符号系统已经独立于数学的符号系统的构造活动。比如，数学的符号系统根本就不存在抽象的性质，而抽象的性质是数学的符号系统的构造活动的性质。
总之，西方人把数学的符号系统假设成就像西方哲学那样的数学就是无法成功构造数学理论的根本原因。因为这个假设就是错误的。因此，两千多年来的确认也是错误的。
所以，我要大声地说“人类，是时候放弃数学啦”。

我非常想知道您对以上观点的异见。敬请批判。

姓名：韩康平
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