AB 是 ⊙O 的直径，弦 AE 平分半径 OC，弦 CD⊥AB，DE 交 BC 于 P，已知 BP=3，求 CP

luyuanhong

这是台湾网友 a0952775081 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，

欢迎大家一起来想想如何解答：

047619

AOC相似于DBC,角OAE=角BDE,AE平分OC，所以DE平分BC。

shuxuestar

平分弦的证法：

luyuanhong

谢谢楼上 047619 和 shuxuestar 的解答。下面是我的详细解答：

王守恩

luyuanhong 发表于 2018-8-30 21:47
谢谢楼上 047619 和 shuxuestar 的解答。下面是我的详细解答：

借陆老师的图调整一下，凭直觉先找答案。
”大胆猜测，小心求证“ 这是解题最好的方法。
不妨设ACBD就是个正方形(好像没有违背题意)。
正方形的2条对角线AB,CD互相垂直且平分,交点是O。则有：
1，∠AED=45(圆周角是圆心角的一半)=∠AEO+∠OED=∠2+∠1
2，∠OED=∠ODE=∠1
3，∠AEO=∠OAE=∠PDB=∠2
4，由上，三角形OAQ相似于三角形PDB，
即：OQ/OA=BP/BD=1/2=3/6
得：正方形边长是6，正方形对角线长是6/根号2，圆半径是3/根号2。

luyuanhong

从原题中的条件，不能推导出 ACBD 是正方形。

王守恩

luyuanhong 发表于 2018-9-1 14:52
从原题中的条件，不能推导出 ACBD 是正方形。

谢谢陆老师！提炼一下。
1，根据弦EB，可知∠EAB=∠EDB
2，根据弦AC，可知∠AOC=2×∠ABC=∠DBC
3，由上，三角形AOQ相似于三角形DBP，
即：OQ/OA=BP/BD=1/2=3/6   6=BD=BC