关于旁心三角形的几个共点性质

ccmmjj126

如图；三角形ABC旁心分别为D、E、F。分别对三角形ABC三边作垂线DG、EH、FI。G、H、I 是垂足。有如下几条三线共点性质；
1：DC、EA、BF三线共点。
2：DG、EH、FI三线共点。
3：AH、BI、CG三线共点。

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

ccmmjj126

luyuanhong 发表于 2018-9-6 10:25
下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子，可供参考：

这是一个很漂亮的结论，只不过只对主贴的结论1有效。对结论1来说，CD、AE、BF恰是三角形ABC的角平分线，其当然交于一点，且是ABC之内心。很简单，也无需如此证明。对于结论2、3来说，楼上贴子似乎无效。

denglongshan

已经解决，晚上有空贴出

denglongshan

由于第一个问题可以参考陆教授e的方法解决，这里只解决余下的两个问题，图中P1P2向量的计算结果可能暗示一个比较难以证明的结论，用红色和较大字体显示。
以下证明△ABC内心与原点重合，并且是单位圆。

ccmmjj126

如图；三角形ABC旁心分别为D、E、F。分别对三角形ABC三边作垂线DG、EH、FI。G、H、I 是垂足。有如下几条三线共点性质；
1：DC、EA、BF三线共点。
证明：由旁心之定义，CD、AE、BF恰是三角形ABC的角平分线，其当然交于一点Q，此点是ABC之内心。

ccmmjj126

2：DG、EH、FI三线共点。
证明：引理；如图，DO1O2，EO2O3，FO3O1各在一直线，则条件O1D=O1F，O2D=O2E，O3E=O3F必致矛盾。
如O1D=O1F>O3F=O3E>O2E=O2D>O1D即这矛盾。

又如图，由旁心性质，∠DAB=∠FAC,∠DBA=∠EBC,∠ECB=∠FCA,又由垂直意义，则有∠ADG=∠AFI,∠BDG=∠BEH,∠CEH=∠CFI,
则由以上引理，DG,EH,FI不能交于三点（当然，交于两点更是不可能的，这就不说明了），于是有DG、EH、FI三线共点O。此点即为三角形DEF之外心。

luyuanhong

楼上 ccmmjj126 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

ccmmjj126

3：AH、BI、CG三线共点。

证明：由旁心连线知∠BAD=∠CAF，知△AGD ∽  △AIF，则有AG/AI=AD/AF；
同理，BH/BG=BE/BD，CI/CH=CF/CE。
于是 AG/AI*BH/BG*CI/CH=AD/AF*BE/BD*CF/CE
调整得AG/BG*BH/CH*CI/AI=AD/AF*BE/BD*CF/CE
而由1：DC、EA、BF三线共点知AD/AF*BE/BD*CF/CE=1（赛瓦定理），
即是AG/BG*BH/CH*CI/AI=1，
由赛瓦定理得AH、BI、CG三线共点。

luyuanhong

楼上 ccmmjj126 的帖子很好！我已将帖子转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。